Sr Examen
Ecuación diferencial y''-yy'=(1-cosy)y'
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d d
- --(y(x))*y(x) + ---(y(x)) = (1 - cos(y(x)))*--(y(x))
dx 2 dx
dx
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(1 - \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
-y*y' + y'' = (1 - cos(y))*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(1 - \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = dx \left(- y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right)$$
o
$$- \frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = dx \left(- y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y'}\right)\, dy' = \int \left(- y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y' \right)} = Const + \int \left(- y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right)\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} e^{x + \int y{\left(x \right)}\, dx - \int \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\, dx}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} e^{x + \int y{\left(x \right)}\, dx - \int \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\, dx}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \int e^{x} \left(e^{\int y{\left(x \right)}\, dx}\right) e^{- \int \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\, dx}\, dx + C_{2}$$
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(1 - \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = dx \left(- y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right)$$
o
$$- \frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = dx \left(- y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y'}\right)\, dy' = \int \left(- y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y' \right)} = Const + \int \left(- y{\left(x \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 1\right)\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} e^{x + \int y{\left(x \right)}\, dx - \int \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\, dx}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} e^{x + \int y{\left(x \right)}\, dx - \int \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\, dx}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \int e^{x} \left(e^{\int y{\left(x \right)}\, dx}\right) e^{- \int \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}\, dx}\, dx + C_{2}$$