Sr Examen
Ecuación diferencial y^2*y''-y*y'^2+2*y*y'=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2 2
2 d /d \ d
y (x)*---(y(x)) - |--(y(x))| *y(x) + 2*--(y(x))*y(x) = 0
2 \dx / dx
dx
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
y^2*y'' - y*y'^2 + 2*y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y' \left(y' - 2\right)}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y' \right)}}{2} - \frac{\log{\left(y' - 2 \right)}}{2} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{2 C_{1}}{C_{1} - e^{2 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{2 C_{1}}{C_{1} - e^{2 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 C_{1} \int \frac{1}{C_{1} - e^{2 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}}\, dx + C_{2}$$
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y' \left(y' - 2\right)}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y' \right)}}{2} - \frac{\log{\left(y' - 2 \right)}}{2} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{2 C_{1}}{C_{1} - e^{2 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{2 C_{1}}{C_{1} - e^{2 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 C_{1} \int \frac{1}{C_{1} - e^{2 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}}\, dx + C_{2}$$
Clasificación
factorable