Sr Examen
Ecuación diferencial (1+x^2)dy−(1+y^2)dx=0.
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 d d
-1 - y (x) + x *--(y(x)) + --(y(x)) = 0
dx dx
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
x^2*y' - y^2 + y' - 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \tan{\left(C_{1} - \operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}$$
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \tan{\left(C_{1} - \operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}$$
Respuesta
[src]
y(x) = -tan(C1 - atan(x))
$$y{\left(x \right)} = - \tan{\left(C_{1} - \operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7950288761297911)
(-5.555555555555555, 0.880480352593448)
(-3.333333333333333, 1.1051141693312314)
(-1.1111111111111107, 3.3010268646481755)
(1.1111111111111107, 17248133.925943796)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 1.5636038433718505e+185)
(7.777777777777779, 8.388243571809586e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)