Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación 3*y*cos(x)+2*y'=e^(2*x)*(3*cos(x)+2)/y
- Ecuación 12*y-7*y'+y''=3*e^(4*x)
- Ecuación y''+8y'+25y=2cos4x
- Ecuación y'=2*x*y/(x^2+1)
- Derivada de:
-
cosx
- Integral de d{x}:
- cosx
- Gráfico de la función y =:
-
cosx
-
Expresiones idénticas
- y''-25y'+6y=cosx
- y dos signos de prima para el segundo (2) orden menos 25y signo de prima para el primer (1) orden más 6y es igual a coseno de x
-
Expresiones semejantes
- 2*y'=cos(x)/y
- 3*y*cos(x)+2*y'=e^(2*x)*(3*cos(x)+2)/y
- x*y'-y=x^2*cos(x)
- y''+25y'+6y=cosx
- y''-25y'-6y=cosx
- 3*y*cos(x)+2*y'=e^(2*x)*(12*cos(x)+8)/y
Ecuación diferencial y''-25y'+6y=cosx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 25*--(y(x)) + 6*y(x) + ---(y(x)) = cos(x)
dx 2
dx
$$6 y{\left(x \right)} - 25 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
6*y - 25*y' + y'' = cos(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$6 y{\left(x \right)} - 25 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -25$$
$$q = 6$$
$$s = - \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 25 k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}$$
$$k_{2} = \frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(25/2 - sqrt(601)/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(sqrt(601)/2 + 25/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)} = \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right) e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right) e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{601} e^{- \frac{x \left(25 - \sqrt{601}\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{601}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{601} e^{- \frac{x \left(\sqrt{601} + 25\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{601}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\sqrt{601} e^{- \frac{x \left(25 - \sqrt{601}\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{601}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{601} e^{- \frac{x \left(\sqrt{601} + 25\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{601}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\sqrt{601} \left(- \frac{14137851341 e^{25 x} \sin{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}}} + \frac{576694985 \sqrt{601} e^{25 x} \sin{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}}} - \frac{14277612983 \sqrt{601} e^{25 x} \cos{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}}} + \frac{350019984755 e^{25 x} \cos{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}}}\right)}{601}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\sqrt{601} \left(\frac{2 e^{\frac{25 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{601} x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}} - \frac{25 e^{\frac{25 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{601} x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}} - \frac{\sqrt{601} e^{\frac{25 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{601} x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}}\right)}{601}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{25 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + C_{4} e^{\frac{25 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{601} x}{2}} - \frac{576694985 e^{\frac{75 x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}}} + \frac{14277612983 e^{\frac{75 x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}}} + \frac{14137851341 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 5216566027664170 e^{\frac{75 x}{2}} + 212788166639650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}}} - \frac{350019984755 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 5216566027664170 e^{\frac{75 x}{2}} + 212788166639650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}}} + \frac{2 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} \sin{\left(x \right)}}{601 \left(25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}\right)} - \frac{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} \cos{\left(x \right)}}{601 \left(25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}\right)} - \frac{e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} \cos{\left(x \right)}}{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$6 y{\left(x \right)} - 25 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -25$$
$$q = 6$$
$$s = - \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 25 k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}$$
$$k_{2} = \frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(25/2 - sqrt(601)/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(sqrt(601)/2 + 25/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)} = \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right) e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right) e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{601} e^{- \frac{x \left(25 - \sqrt{601}\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{601}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{601} e^{- \frac{x \left(\sqrt{601} + 25\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{601}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\sqrt{601} e^{- \frac{x \left(25 - \sqrt{601}\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{601}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{601} e^{- \frac{x \left(\sqrt{601} + 25\right)}{2}} \cos{\left(x \right)}}{601}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\sqrt{601} \left(- \frac{14137851341 e^{25 x} \sin{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}}} + \frac{576694985 \sqrt{601} e^{25 x} \sin{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}}} - \frac{14277612983 \sqrt{601} e^{25 x} \cos{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}}} + \frac{350019984755 e^{25 x} \cos{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}}}\right)}{601}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\sqrt{601} \left(\frac{2 e^{\frac{25 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{601} x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}} - \frac{25 e^{\frac{25 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{601} x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}} - \frac{\sqrt{601} e^{\frac{25 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{601} x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}}\right)}{601}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{25}{2} - \frac{\sqrt{601}}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{\sqrt{601}}{2} + \frac{25}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{25 x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{601} x}{2}} + C_{4} e^{\frac{25 x}{2}} e^{\frac{\sqrt{601} x}{2}} - \frac{576694985 e^{\frac{75 x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}}} + \frac{14277612983 e^{\frac{75 x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 8679810362170 e^{\frac{75 x}{2}} + 354056849650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}}} + \frac{14137851341 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 5216566027664170 e^{\frac{75 x}{2}} + 212788166639650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}}} - \frac{350019984755 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 5216566027664170 e^{\frac{75 x}{2}} + 212788166639650 \sqrt{601} e^{\frac{75 x}{2}}} + \frac{2 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} \sin{\left(x \right)}}{601 \left(25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}\right)} - \frac{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} \cos{\left(x \right)}}{601 \left(25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}\right)} - \frac{e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} \cos{\left(x \right)}}{25 \sqrt{601} e^{25 x} e^{\sqrt{601} x} + 615 e^{25 x} e^{\sqrt{601} x}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ _____\ / _____\
x*\25 - \/ 601 / x*\25 + \/ 601 /
---------------- ----------------
sin(x) cos(x) 2 2
y(x) = - ------ + ------ + C1*e + C2*e
26 130
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(25 - \sqrt{601}\right)}{2}} + C_{2} e^{\frac{x \left(\sqrt{601} + 25\right)}{2}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{26} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{130}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral