Ecuación diferencial xy'+y=x^3(y^3)

Tenemos la ecuación:
$$- x^{3} y^{3}{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - u^{3}{\left(x \right)} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$- u^{3}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{3}{\left(x \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{3}{\left(x \right)}} = dx$$
o
$$\frac{du}{u^{3}{\left(x \right)}} = dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 u^{2}} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2 x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2 x}$$