Ecuación diferencial xy^2(xy'-y)=2

Tenemos la ecuación:
$$x \left(x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}\right) y^{2}{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x^{4} u^{3}{\left(x \right)} + x^{4} u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - 2 = 0$$
o
$$x^{5} u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{5}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{2}{u^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} = - \frac{1}{x^{5}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} = - \frac{dx}{x^{5}}$$
o
$$- \frac{du u^{2}{\left(x \right)}}{2} = - \frac{dx}{x^{5}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x^{5}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u^{3}}{6} = Const + \frac{1}{4 x^{4}}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{C_{1} - \frac{3}{x^{4}}}}{2}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{1}{x^{4}}}}{4}$$
$$\operatorname{u_{3}} = u{\left(x \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{1}{x^{4}}}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = \frac{2^{\frac{2}{3}} x \sqrt[3]{C_{1} - \frac{3}{x^{4}}}}{2}$$
$$y2 = y(x) = \frac{2^{\frac{2}{3}} x \left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{1}{x^{4}}}}{4}$$
$$y3 = y(x) = \frac{2^{\frac{2}{3}} x \left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{1}{x^{4}}}}{4}$$