Sr Examen
Ecuación diferencial xy'-y=(x+y)(ln(x+y)-lnx)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
-y(x) + x*--(y(x)) = (x + y(x))*(-log(x) + log(x + y(x)))
dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = \left(x + y{\left(x \right)}\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + y{\left(x \right)} \right)}\right)$$
x*y' - y = (x + y)*(-log(x) + log(x + y))
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(x + y{\left(x \right)}\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + y{\left(x \right)} \right)}\right) - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x u{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} \log{\left(x u{\left(x \right)} + x \right)} - x u{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(x u{\left(x \right)} + x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + x u{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} \log{\left(x u{\left(x \right)} + x \right)} + x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(x u{\left(x \right)} + x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du}{\left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\left(u + 1\right) \log{\left(u + 1 \right)}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\log{\left(u + 1 \right)} \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = e^{C_{1} x} - 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(e^{C_{1} x} - 1\right)$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(x + y{\left(x \right)}\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + y{\left(x \right)} \right)}\right) - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x u{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} \log{\left(x u{\left(x \right)} + x \right)} - x u{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(x u{\left(x \right)} + x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + x u{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} \log{\left(x u{\left(x \right)} + x \right)} + x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(x u{\left(x \right)} + x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du}{\left(u{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\left(u + 1\right) \log{\left(u + 1 \right)}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\log{\left(u + 1 \right)} \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = e^{C_{1} x} - 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(e^{C_{1} x} - 1\right)$$
Clasificación
lie group