Sr Examen
Ecuación diferencial csc(x)y'+x(y^2-1)/y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \ d x*\-1 + y (x)/ --(y(x))*csc(x) + -------------- = 0 dx y(x)
$$\frac{x \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{y{\left(x \right)}} + \csc{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*(y^2 - 1)/y + csc(x)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{y{\left(x \right)}} + \csc{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \csc{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)} - 1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\csc{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)} - 1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = - x \sin{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = - dx x \sin{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = - dx x \sin{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{y^{2} - 1}\, dy = \int \left(- x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y^{2} - 1 \right)}}{2} = Const + x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}} + 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}} + 1}$$
$$\frac{x \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{y{\left(x \right)}} + \csc{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \csc{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)} - 1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\csc{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)} - 1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = - x \sin{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = - dx x \sin{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = - dx x \sin{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{y^{2} - 1}\, dy = \int \left(- x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y^{2} - 1 \right)}}{2} = Const + x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}} + 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}} + 1}$$
Respuesta
[src]
________________________________
/ -2*sin(x) + 2*x*cos(x)
y(x) = -\/ 1 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}} + 1}$$
________________________________
/ -2*sin(x) + 2*x*cos(x)
y(x) = \/ 1 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}} + 1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 2.5616190954683864e-09)
(-5.555555555555555, 6.902513675931e-310)
(-3.333333333333333, 6.9025146123917e-310)
(-1.1111111111111107, 6.902513675931e-310)
(1.1111111111111107, 6.902513675931e-310)
(3.333333333333334, 6.902513675931e-310)
(5.555555555555557, 6.9025138568365e-310)
(7.777777777777779, 6.90251463126265e-310)
(10.0, 6.90251463126265e-310)
(10.0, 6.90251463126265e-310)