Sr Examen
Ecuación diferencial mx''x^3-k=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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2
3 d
-k + m*x (t)*---(x(t)) = 0
2
dt
$$- k + m x^{3}{\left(t \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
-k + m*x^3*x'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- k + m x^{3}{\left(t \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x' \right)} = - \frac{k}{m}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x')
$$- \frac{k}{m}$$
obtendremos
$$- \frac{m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{k} = - \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables t y x'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{k} = - \frac{dt}{x^{3}{\left(t \right)}}$$
o
$$- \frac{dx' m}{k} = - \frac{dt}{x^{3}{\left(t \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x',
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{m}{k}\right)\, dx' = \int \left(- \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{m x'}{k} = Const - \int \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\, dt$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x'1} = \operatorname{x'}{\left(t \right)} = C_{1} + \frac{k \int \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\, dt}{m}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{x_{1}} = \int \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\, dt = \int \left(C_{1} + \frac{k \int \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\, dt}{m}\right)\, dt$$ =
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = C_{2} + \frac{\int C_{1} m\, dt + \int k \int \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\, dt\, dt}{m}$$
$$- k + m x^{3}{\left(t \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x')*x'' = f2(x)*g2(x'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x' \right)} = - \frac{k}{m}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x')/g2(x')*x''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x')
$$- \frac{k}{m}$$
obtendremos
$$- \frac{m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{k} = - \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables t y x'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{k} = - \frac{dt}{x^{3}{\left(t \right)}}$$
o
$$- \frac{dx' m}{k} = - \frac{dt}{x^{3}{\left(t \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x',
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{m}{k}\right)\, dx' = \int \left(- \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{m x'}{k} = Const - \int \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\, dt$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x'1} = \operatorname{x'}{\left(t \right)} = C_{1} + \frac{k \int \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\, dt}{m}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{x_{1}} = \int \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\, dt = \int \left(C_{1} + \frac{k \int \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\, dt}{m}\right)\, dt$$ =
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = C_{2} + \frac{\int C_{1} m\, dt + \int k \int \frac{1}{x^{3}{\left(t \right)}}\, dt\, dt}{m}$$