Sr Examen
Ecuación diferencial xdy-(y^2+1dx)^(1/2)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
____________
/ 2
d \/ dx + y (x)
x*--(y(x)) - --------------- = 0
dx dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx} = 0$$
x*y' - sqrt(dx + y^2)/dx = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{dx x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{1}{dx x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{dx + y^{2}}}\, dy = \int \frac{1}{dx x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asinh}{\left(\frac{y}{\sqrt{dx}} \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{dx} \sinh{\left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx} \right)}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{dx x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{1}{dx x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{dx + y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{dx + y^{2}}}\, dy = \int \frac{1}{dx x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asinh}{\left(\frac{y}{\sqrt{dx}} \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{dx} \sinh{\left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx} \right)}$$
Respuesta
[src]
____ / log(x)\
y(x) = \/ dx *sinh|C1 + ------|
\ dx /
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{dx} \sinh{\left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx} \right)}$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral