Ecuación diferencial sinxdx+4y^3dy

Tenemos la ecuación:
$$4 y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{4}$$
o
$$dy y^{3}{\left(x \right)} = - \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{4}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y^{3}\, dy = \int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{4}}{4} = Const + \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - i \sqrt[4]{C_{1} + \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = i \sqrt[4]{C_{1} + \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{C_{1} + \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{C_{1} + \cos{\left(x \right)}}$$