Sr Examen

Ecuación diferencial 2y"=3y^2

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
    2                
   d             2   
2*---(y(x)) = 3*y (x)
    2                
  dx                 
$$2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 y^{2}{\left(x \right)}$$
2*y'' = 3*y^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 y^{2}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - y^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{3}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{3}{2}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{3} = - y^{2}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{3} = - dx y^{2}{\left(x \right)}$$
o
$$- \frac{2 dy'}{3} = - dx y^{2}{\left(x \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2}{3}\right)\, dy' = \int \left(- y^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y'
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{2 y'}{3} = Const - \int y^{2}{\left(x \right)}\, dx$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{3 \int y^{2}{\left(x \right)}\, dx}{2}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} + \frac{3 \int y^{2}{\left(x \right)}\, dx}{2}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \frac{\int 2 C_{1}\, dx + \int 3 \int y^{2}{\left(x \right)}\, dx\, dx}{2}$$