Sr Examen
Ecuación diferencial xsqrt(+y^2)+yy'sqrt(1+x^2)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
_______ ________
/ 2 / 2 d
x*\/ y (x) + \/ 1 + x *--(y(x))*y(x) = 0
dx
$$x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*sqrt(y^2) + sqrt(x^2 + 1)*y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2}} = Const - \sqrt{x^{2} + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} - x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}} - \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = C_{1} + x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}} + \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}}$$
$$x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2}} = Const - \sqrt{x^{2} + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} - x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}} - \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = C_{1} + x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}} + \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}}$$
Respuesta
[src]
y(x) = 0
$$y{\left(x \right)} = 0$$
________ ________
/ 1 2 / 1
y(x) = C1 - / ------ - x * / ------
/ 2 / 2
\/ 1 + x \/ 1 + x
$$y{\left(x \right)} = C_{1} - x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}} - \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}}$$
________ ________
/ 1 2 / 1
y(x) = C1 + / ------ + x * / ------
/ 2 / 2
\/ 1 + x \/ 1 + x
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}} + \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 1}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
nth algebraic
separable
1st power series
lie group
nth algebraic Integral
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 2.9580755664135223)
(-5.555555555555555, 5.155037284200728)
(-3.333333333333333, 7.319772667900722)
(-1.1111111111111107, 9.30502651214084)
(1.1111111111111107, 9.305026724643378)
(3.333333333333334, 7.319771949756979)
(5.555555555555557, 5.155036067309789)
(7.777777777777779, 2.9580742498695325)
(10.0, 0.7499986510631997)
(10.0, 0.7499986510631997)