Sr Examen
Ecuación diferencial xydx-((x^2+1)^0.5)*lnydy^2=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
________
/ 2 d
x*y(x) - dy*\/ 1 + x *--(y(x))*log(y(x)) = 0
dx
$$- dy \sqrt{x^{2} + 1} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} = 0$$
-dy*sqrt(x^2 + 1)*log(y)*y' + x*y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- dy \sqrt{x^{2} + 1} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = - dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
obtendremos
$$- dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x y{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$- \frac{dy^{2} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dy \log{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{dy \log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const - \sqrt{x^{2} + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{dy}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{dy}}}$$
$$- dy \sqrt{x^{2} + 1} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = - dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
obtendremos
$$- dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x y{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$- \frac{dy^{2} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dy \log{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{dy \log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const - \sqrt{x^{2} + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{dy}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{dy}}}$$
Respuesta
[src]
__________________
/ ________
/ / 2
___ / \/ 1 + x
-\/ 2 * / C1 + -----------
\/ dy
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{dy}}}$$
__________________
/ ________
/ / 2
___ / \/ 1 + x
\/ 2 * / C1 + -----------
\/ dy
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{dy}}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral