Ecuación diferencial ydy+(x+2)/2dx=0

Tenemos la ecuación:
$$\frac{x}{2} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 2$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x - 2$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x - 2\right)$$
o
$$2 dy y{\left(x \right)} = dx \left(- x - 2\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 2 y\, dy = \int \left(- x - 2\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$y^{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} - 2 x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 8 x}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 8 x}}{2}$$