Sr Examen
Ecuación diferencial ydy-dx+xdy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d
-1 + x*--(y(x)) + --(y(x))*y(x) = 0
dx dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
x*y' + y*y' - 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)}\right) + \left(- x + u{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
o
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = dx$$
o
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u}{u + 1}\, du = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$u - \log{\left(u + 1 \right)} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} e^{- x - 1}\right) - 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - x - W\left(C_{1} e^{- x - 1}\right) - 1$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)}\right) + \left(- x + u{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
o
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u{\left(x \right)} + 1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = dx$$
o
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u}{u + 1}\, du = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$u - \log{\left(u + 1 \right)} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} e^{- x - 1}\right) - 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - x - W\left(C_{1} e^{- x - 1}\right) - 1$$
Respuesta
[src]
/ 3 / 2 \ / 3 / 2 \ / 5 \\ \
| 2 + -- 6*|-1 - --| | 2 + -- 6*|-1 - --| 6*|2 + --|| |
/ 3 / 2 \ \ | 12 C1 \ C1/ / 2 \ / 3 \ | 30 C1 \ C1/ \ C1/| / 5 \ 3 / 2 \ / 3 / 2 \ / 5 \\ |
| 2 + -- 6*|-1 - --| | | -6 - -- - ------ + ----------- 12*|-1 - --| 2*|2 + --| 2*|12 + -- + ------ - ----------- + ----------| 12*|2 + --| 2 + -- 6*|-1 - --| | 2 + -- 6*|-1 - --| 6*|2 + --|| |
/ 3 \ | 12 C1 \ C1/ 3 / 2 \| | 60 C1 C1 C1 \ C1/ \ C1/ \ C1 C1 C1 C1 / \ C1/ 12 C1 \ C1/ / 2 \ / 3 \ | 30 C1 \ C1/ \ C1/| / 5 \|
| 2 + --| | -6 - -- - ------ + ----------- 2 + -- 6*|-1 - --|| | 24 + -- - ------------------------------ - ------------ + ---------- + ----------------------------------------------- + ----------- -6 - -- - ------ + ----------- 12*|-1 - --| 2*|2 + --| 2*|12 + -- + ------ - ----------- + ----------| 12*|2 + --||
2 / 1 \ 3 | 3 C1| 4 | 12 C1 C1 C1 C1 \ C1/| 5 | 60 C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 \ C1/ \ C1/ \ C1 C1 C1 C1 / \ C1/|
x *|-1 - --| x *|2 + -- + ------| x *|-6 - -- + ------------------------------ - ------ + -----------| x *|24 + -- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ - ------------------------------ - ------------ + ---------- + ----------------------------------------------- + -----------|
x \ C1/ \ C1 C1 / \ C1 C1 C1 C1 / \ C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 / / 6\
y(x) = C1 + -- + ------------ + -------------------- + -------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + O\x /
C1 2 3 4 5
2*C1 6*C1 24*C1 120*C1
$$y{\left(x \right)} = \frac{x^{5} \left(24 - \frac{12 \left(-1 - \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{2 \left(2 + \frac{3}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{12 \left(2 + \frac{5}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{-6 + \frac{6 \left(-1 - \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{2 + \frac{3}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{12}{C_{1}}}{C_{1}} + \frac{2 \left(12 - \frac{6 \left(-1 - \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{2 + \frac{3}{C_{1}}}{C_{1}} + \frac{6 \left(2 + \frac{5}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{30}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{24 - \frac{12 \left(-1 - \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{2 \left(2 + \frac{3}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{12 \left(2 + \frac{5}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{-6 + \frac{6 \left(-1 - \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{2 + \frac{3}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{12}{C_{1}}}{C_{1}} + \frac{2 \left(12 - \frac{6 \left(-1 - \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{2 + \frac{3}{C_{1}}}{C_{1}} + \frac{6 \left(2 + \frac{5}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{30}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{60}{C_{1}}}{C_{1}} + \frac{60}{C_{1}}\right)}{120 C_{1}^{5}} + \frac{x^{4} \left(-6 + \frac{6 \left(-1 - \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{2 + \frac{3}{C_{1}}}{C_{1}} + \frac{-6 + \frac{6 \left(-1 - \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{2 + \frac{3}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{12}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{12}{C_{1}}\right)}{24 C_{1}^{4}} + \frac{x^{3} \left(2 + \frac{2 + \frac{3}{C_{1}}}{C_{1}} + \frac{3}{C_{1}}\right)}{6 C_{1}^{3}} + \frac{x^{2} \left(-1 - \frac{1}{C_{1}}\right)}{2 C_{1}^{2}} + \frac{x}{C_{1}} + C_{1} + O\left(x^{6}\right)$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
1st power series
lie group
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.4799858523603464)
(-5.555555555555555, 0.1277017400177174)
(-3.333333333333333, -0.36688180397095993)
(-1.1111111111111107, -1.1378783698617048)
(1.1111111111111107, -2.448054290412654)
(3.333333333333334, -4.382045248797188)
(5.555555555555557, -6.561067403672507)
(7.777777777777779, -8.778378036908506)
(10.0, -11.000065082961182)
(10.0, -11.000065082961182)