Tenemos la ecuación:
$$- t \sin^{2}{\left(\frac{x{\left(t \right)}}{t} \right)} + t \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} - x{\left(t \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(t \right)} = \frac{x{\left(t \right)}}{t}$$
y porque
$$x{\left(t \right)} = t u{\left(t \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = t \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} + u{\left(t \right)}$$
sustituimos
$$- t u{\left(t \right)} - t \sin^{2}{\left(u{\left(t \right)} \right)} + t \frac{d}{d t} t u{\left(t \right)} = 0$$
o
$$t^{2} \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} - t \sin^{2}{\left(u{\left(t \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = \frac{1}{t}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \sin^{2}{\left(u{\left(t \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\sin^{2}{\left(u{\left(t \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{\sin^{2}{\left(u{\left(t \right)} \right)}} = \frac{1}{t}$$
Con esto hemos separado las variables t y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{\sin^{2}{\left(u{\left(t \right)} \right)}} = \frac{dt}{t}$$
o
$$\frac{du}{\sin^{2}{\left(u{\left(t \right)} \right)}} = \frac{dt}{t}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}\, du = \int \frac{1}{t}\, dt$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con tTomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}} = Const + \log{\left(t \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(t \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} + \log{\left(t \right)}} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$x{\left(t \right)} = t u{\left(t \right)}$$
$$x1 = x(t) = - t \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} + \log{\left(t \right)}} \right)}$$