Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 2x^2-x-1=x^2-5x-(-1-x^2)
-
Ecuación x^2+4=5x
-
Ecuación x(x^2+2x+1)=6(x+1)
-
Ecuación 4x+1=-3x+15
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -6*x-20*y=8
- 13*x-12*y=19
- -9*x+11*y=9
- -4*x-8*y=-20
- Integral de d{x}:
- z^3
- Gráfico de la función y =:
-
z^3
- Derivada de:
-
z^3
-
Expresiones idénticas
- z^ tres =sqrt(tres)+i
- z al cubo es igual a raíz cuadrada de (3) más i
- z en el grado tres es igual a raíz cuadrada de (tres) más i
- z^3=√(3)+i
- z3=sqrt(3)+i
- z3=sqrt3+i
- z³=sqrt(3)+i
- z en el grado 3=sqrt(3)+i
- z^3=sqrt3+i
-
Expresiones semejantes
- z^3=sqrt(3)-i
- w^3=1/(sqrt3+i)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x-1)=x-3
- sqrt(x+6)=x
- sqrt(16-4*x)=2
- sqrt(12-x)=x
- sqrt(5/(15-x))=1
z^3=sqrt(3)+i la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} = \sqrt{3} + i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{3} + i}$$
o
$$z = \sqrt[3]{\sqrt{3} + i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = (i + sqrt(3))^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = \sqrt{3} + i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \sqrt{3} + i$$
donde
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z^{3} = \sqrt{3} + i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{3} + i}$$
o
$$z = \sqrt[3]{\sqrt{3} + i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = i+sqrt+3)^1/3
Obtenemos la respuesta: z = (i + sqrt(3))^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = \sqrt{3} + i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \sqrt{3} + i$$
donde
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \sqrt{3} - i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \sqrt{3} - i$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \sqrt{3} - i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \sqrt{3} - i$$
Gráfica
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\ / 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\
| \/ 2 *sin|--| \/ 2 *\/ 3 *cos|--|| \/ 2 *cos|--| \/ 2 *\/ 3 *sin|--| | \/ 2 *sin|--| \/ 2 *\/ 3 *cos|--|| \/ 2 *cos|--| \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
3 ___ /pi\ 3 ___ /pi\ | \18/ \18/| \18/ \18/ | \18/ \18/| \18/ \18/
\/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--| + I*|- ------------- + -------------------| - ------------- - ------------------- + I*|- ------------- - -------------------| - ------------- + -------------------
\18/ \18/ \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(\left(\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)\right)$$
=
/ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ / 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ | \/ 2 *sin|--| \/ 2 *\/ 3 *cos|--|| | \/ 2 *sin|--| \/ 2 *\/ 3 *cos|--|| | \18/ \18/| | \18/ \18/| 3 ___ /pi\ I*|- ------------- + -------------------| + I*|- ------------- - -------------------| + I*\/ 2 *sin|--| \ 2 2 / \ 2 2 / \18/
$$i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
producto
/ / 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ / / 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\
| | \/ 2 *sin|--| \/ 2 *\/ 3 *cos|--|| \/ 2 *cos|--| \/ 2 *\/ 3 *sin|--|| | | \/ 2 *sin|--| \/ 2 *\/ 3 *cos|--|| \/ 2 *cos|--| \/ 2 *\/ 3 *sin|--||
/3 ___ /pi\ 3 ___ /pi\\ | | \18/ \18/| \18/ \18/| | | \18/ \18/| \18/ \18/|
|\/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--||*|I*|- ------------- + -------------------| - ------------- - -------------------|*|I*|- ------------- - -------------------| - ------------- + -------------------|
\ \18/ \18// \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 /
$$\left(\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)$$
=
___ I + \/ 3
$$\sqrt{3} + i$$
i + sqrt(3)
Respuesta rápida
[src]
3 ___ /pi\ 3 ___ /pi\
z1 = \/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--|
\18/ \18/
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
/ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\
| \/ 2 *sin|--| \/ 2 *\/ 3 *cos|--|| \/ 2 *cos|--| \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
| \18/ \18/| \18/ \18/
z2 = I*|- ------------- + -------------------| - ------------- - -------------------
\ 2 2 / 2 2
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
/ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\\ 3 ___ /pi\ 3 ___ ___ /pi\
| \/ 2 *sin|--| \/ 2 *\/ 3 *cos|--|| \/ 2 *cos|--| \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
| \18/ \18/| \18/ \18/
z3 = I*|- ------------- - -------------------| - ------------- + -------------------
\ 2 2 / 2 2
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
z3 = -2^(1/3)*cos(pi/18)/2 + 2^(1/3)*sqrt(3)*sin(pi/18)/2 + i*(-2^(1/3)*sqrt(3)*cos(pi/18)/2 - 2^(1/3)*sin(pi/18)/2)
Respuesta numérica
[src]
z1 = 1.24078001811975 + 0.21878299431845*i
z2 = -0.430918378064072 - 1.18393851335905*i
z3 = -0.809861640055681 + 0.965155519040596*i
z3 = -0.809861640055681 + 0.965155519040596*i