Sr Examen

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z^3=sqrt(3)+i la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 3     ___    
z  = \/ 3  + I
z3=3+iz^{3} = \sqrt{3} + i
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
z3=3+iz^{3} = \sqrt{3} + i
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
z33=3+i3\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{3} + i}
o
z=3+i3z = \sqrt[3]{\sqrt{3} + i}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = i+sqrt+3)^1/3

Obtenemos la respuesta: z = (i + sqrt(3))^(1/3)

Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
w=zw = z
entonces la ecuación será así:
w3=3+iw^{3} = \sqrt{3} + i
Cualquier número complejo se puede presentar que:
w=reipw = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=3+ir^{3} e^{3 i p} = \sqrt{3} + i
donde
r=23r = \sqrt[3]{2}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=32+i2e^{3 i p} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=32+i2i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
es decir
cos⁡(3p)=32\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
y
sin⁡(3p)=12\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}
entonces
p=2πN3+π18p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
w1=23cos⁡(π18)+23isin⁡(π18)w_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}
w2=−23cos⁡(π18)2−233sin⁡(π18)2−23isin⁡(π18)2+233icos⁡(π18)2w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
w3=−23cos⁡(π18)2+233sin⁡(π18)2−233icos⁡(π18)2−23isin⁡(π18)2w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
hacemos cambio inverso
w=zw = z
z=wz = w

Entonces la respuesta definitiva es:
z1=23cos⁡(π18)+23isin⁡(π18)z_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}
z2=−23cos⁡(π18)2−233sin⁡(π18)2−23isin⁡(π18)2+233icos⁡(π18)2z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
z3=−23cos⁡(π18)2+233sin⁡(π18)2−233icos⁡(π18)2−23isin⁡(π18)2z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=−3−iv = - \sqrt{3} - i
Fórmulas de Cardano-Vieta
z1+z2+z3=−pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
z1z2z3=−3−iz_{1} z_{2} z_{3} = - \sqrt{3} - i
Gráfica
Suma y producto de raíces [src] 
suma
                                    /  3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\     /  3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\
                                    |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|     |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
3 ___    /pi\     3 ___    /pi\     |           \18/                  \18/|            \18/                  \18/     |           \18/                  \18/|            \18/                  \18/
\/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--| + I*|- ------------- + -------------------| - ------------- - ------------------- + I*|- ------------- - -------------------| - ------------- + -------------------
         \18/              \18/     \        2                  2         /         2                  2              \        2                  2         /         2                  2
(−23cos⁡(π18)2+233sin⁡(π18)2+i(−233cos⁡(π18)2−23sin⁡(π18)2))+((23cos⁡(π18)+23isin⁡(π18))+(−23cos⁡(π18)2−233sin⁡(π18)2+i(−23sin⁡(π18)2+233cos⁡(π18)2)))\left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(\left(\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)\right) 
=
  /  3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\     /  3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\                  
  |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||     |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||                  
  |           \18/                  \18/|     |           \18/                  \18/|     3 ___    /pi\
I*|- ------------- + -------------------| + I*|- ------------- - -------------------| + I*\/ 2 *sin|--|
  \        2                  2         /     \        2                  2         /              \18/
i(−233cos⁡(π18)2−23sin⁡(π18)2)+23isin⁡(π18)+i(−23sin⁡(π18)2+233cos⁡(π18)2)i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) 
producto
                                  /  /  3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\ /  /  3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\
                                  |  |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|| |  |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--||
/3 ___    /pi\     3 ___    /pi\\ |  |           \18/                  \18/|            \18/                  \18/| |  |           \18/                  \18/|            \18/                  \18/|
|\/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--||*|I*|- ------------- + -------------------| - ------------- - -------------------|*|I*|- ------------- - -------------------| - ------------- + -------------------|
\         \18/              \18// \  \        2                  2         /         2                  2         / \  \        2                  2         /         2                  2         /
(23cos⁡(π18)+23isin⁡(π18))(−23cos⁡(π18)2−233sin⁡(π18)2+i(−23sin⁡(π18)2+233cos⁡(π18)2))(−23cos⁡(π18)2+233sin⁡(π18)2+i(−233cos⁡(π18)2−23sin⁡(π18)2))\left(\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) 
=
      ___
I + \/ 3
3+i\sqrt{3} + i 
i + sqrt(3)
Respuesta rápida [src] 
     3 ___    /pi\     3 ___    /pi\
z1 = \/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--|
              \18/              \18/
z1=23cos⁡(π18)+23isin⁡(π18)z_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} 
       /  3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\
       |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
       |           \18/                  \18/|            \18/                  \18/
z2 = I*|- ------------- + -------------------| - ------------- - -------------------
       \        2                  2         /         2                  2
z2=−23cos⁡(π18)2−233sin⁡(π18)2+i(−23sin⁡(π18)2+233cos⁡(π18)2)z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) 
       /  3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\
       |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
       |           \18/                  \18/|            \18/                  \18/
z3 = I*|- ------------- - -------------------| - ------------- + -------------------
       \        2                  2         /         2                  2
z3=−23cos⁡(π18)2+233sin⁡(π18)2+i(−233cos⁡(π18)2−23sin⁡(π18)2)z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) 
z3 = -2^(1/3)*cos(pi/18)/2 + 2^(1/3)*sqrt(3)*sin(pi/18)/2 + i*(-2^(1/3)*sqrt(3)*cos(pi/18)/2 - 2^(1/3)*sin(pi/18)/2)
Respuesta numérica [src] 
z1 = 1.24078001811975 + 0.21878299431845*i
z2 = -0.430918378064072 - 1.18393851335905*i
z3 = -0.809861640055681 + 0.965155519040596*i
z3 = -0.809861640055681 + 0.965155519040596*i
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