sqrt(x-2)+sqrt(4-x)=sqrt(6-x) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2} = \sqrt{6 - x}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2}\right)^{2} = 6 - x$$
o
$$1^{2} \left(4 - x\right) + \left(2 \sqrt{\left(4 - x\right) \left(x - 2\right)} + 1^{2} \left(x - 2\right)\right) = 6 - x$$
o
$$2 \sqrt{- x^{2} + 6 x - 8} + 2 = 6 - x$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{- x^{2} + 6 x - 8} = 4 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 4 x^{2} + 24 x - 32 = \left(4 - x\right)^{2}$$
$$- 4 x^{2} + 24 x - 32 = x^{2} - 8 x + 16$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 5 x^{2} + 32 x - 48 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -5$$
$$b = 32$$
$$c = -48$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(32)^2 - 4 * (-5) * (-48) = 64

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = 4$$

Como
$$\sqrt{- x^{2} + 6 x - 8} = 2 - \frac{x}{2}$$
y
$$\sqrt{- x^{2} + 6 x - 8} \geq 0$$
entonces
$$2 - \frac{x}{2} \geq 0$$
o
$$x \leq 4$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = 4$$
comprobamos:
$$x_{1} = \frac{12}{5}$$
$$\sqrt{4 - x_{1}} - \sqrt{6 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} - 2} = 0$$
=
$$- \sqrt{6 - \frac{12}{5}} + \left(\sqrt{-2 + \frac{12}{5}} + \sqrt{4 - \frac{12}{5}}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = 4$$
$$\sqrt{4 - x_{2}} - \sqrt{6 - x_{2}} + \sqrt{x_{2} - 2} = 0$$
=
$$- \sqrt{6 - 4} + \left(\sqrt{4 - 4} + \sqrt{-2 + 4}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = 4$$