sqrt(2-x)+sqrt(-x-1)=sqrt(-5x-7) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2 - x} + \sqrt{- x - 1} = \sqrt{- 5 x - 7}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{2 - x} + \sqrt{- x - 1}\right)^{2} = - 5 x - 7$$
o
$$1^{2} \left(- x - 1\right) + \left(2 \sqrt{\left(2 - x\right) \left(- x - 1\right)} + 1^{2} \left(2 - x\right)\right) = - 5 x - 7$$
o
$$- 2 x + 2 \sqrt{x^{2} - x - 2} + 1 = - 5 x - 7$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{x^{2} - x - 2} = - 3 x - 8$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} - 4 x - 8 = \left(- 3 x - 8\right)^{2}$$
$$4 x^{2} - 4 x - 8 = 9 x^{2} + 48 x + 64$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 5 x^{2} - 52 x - 72 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -5$$
$$b = -52$$
$$c = -72$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-52)^2 - 4 * (-5) * (-72) = 1264

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{26}{5} - \frac{2 \sqrt{79}}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{26}{5} + \frac{2 \sqrt{79}}{5}$$

Como
$$\sqrt{x^{2} - x - 2} = - \frac{3 x}{2} - 4$$
y
$$\sqrt{x^{2} - x - 2} \geq 0$$
entonces
$$- \frac{3 x}{2} - 4 \geq 0$$
o
$$x \leq - \frac{8}{3}$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = - \frac{26}{5} - \frac{2 \sqrt{79}}{5}$$
comprobamos:
$$x_{1} = - \frac{26}{5} - \frac{2 \sqrt{79}}{5}$$
$$\sqrt{2 - x_{1}} - \sqrt{- 5 x_{1} - 7} + \sqrt{- x_{1} - 1} = 0$$
=
$$- \sqrt{-7 - 5 \left(- \frac{26}{5} - \frac{2 \sqrt{79}}{5}\right)} + \left(\sqrt{-1 - \left(- \frac{26}{5} - \frac{2 \sqrt{79}}{5}\right)} + \sqrt{2 - \left(- \frac{26}{5} - \frac{2 \sqrt{79}}{5}\right)}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \frac{26}{5} - \frac{2 \sqrt{79}}{5}$$