Tenemos la ecuación
$$\sqrt{\left(2 x^{2} - 5 x\right) + 1} = x - 1$$
$$\sqrt{2 x^{2} - 5 x + 1} = x - 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$2 x^{2} - 5 x + 1 = \left(x - 1\right)^{2}$$
$$2 x^{2} - 5 x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$x^{2} - 3 x = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 0$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-3)^2 - 4 * (1) * (0) = 9
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 0$$
Como
$$\sqrt{2 x^{2} - 5 x + 1} = x - 1$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} - 5 x + 1} \geq 0$$
entonces
$$x - 1 \geq 0$$
o
$$1 \leq x$$
$$x < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 3$$