sqrt(x+2)-sqrt(x-6)=2 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{x - 6} + \sqrt{x + 2} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{x - 6} + \sqrt{x + 2}\right)^{2} = 4$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(x - 6\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x - 6\right) \left(x + 2\right)} + 1^{2} \left(x + 2\right)\right) = 4$$
o
$$2 x - 2 \sqrt{x^{2} - 4 x - 12} - 4 = 4$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x - 12} = 8 - 2 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} - 16 x - 48 = \left(8 - 2 x\right)^{2}$$
$$4 x^{2} - 16 x - 48 = 4 x^{2} - 32 x + 64$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$16 x - 112 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$16 x = 112$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 16

x = 112 / (16)

Obtenemos la respuesta: x = 7

Como
$$\sqrt{x^{2} - 4 x - 12} = x - 4$$
y
$$\sqrt{x^{2} - 4 x - 12} \geq 0$$
entonces
$$x - 4 \geq 0$$
o
$$4 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 7$$
comprobamos:
$$x_{1} = 7$$
$$- \sqrt{x_{1} - 6} + \sqrt{x_{1} + 2} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(- \sqrt{-6 + 7} + \sqrt{2 + 7}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 7$$