sqrt(2*sin(x+pi/4))=1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 1$$
cambiamos
$$\sqrt{2} \sqrt{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} - 1 = 0$$
$$\sqrt{2 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 1/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2:
Obtenemos:
$$\left(\sqrt{2}\right)^{2} \left(\sqrt{0 w + \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)^{2} = 1^{2}$$
o
$$2 \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

2*sinx+pi/4 = 1

Esta ecuación no tiene soluciones

hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{4}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)} - \frac{\pi}{4}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \frac{3 \pi}{4}$$
sustituimos w: