sqrt(x-3)+sqrt(4-x)=1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 3} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 3}\right)^{2} = 1$$
o
$$1^{2} \left(4 - x\right) + \left(2 \sqrt{\left(4 - x\right) \left(x - 3\right)} + 1^{2} \left(x - 3\right)\right) = 1$$
o
$$2 \sqrt{- x^{2} + 7 x - 12} + 1 = 1$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{- x^{2} + 7 x - 12} = 0$$
cambiamos
$$- x^{2} + 7 x - 12 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 7$$
$$c = -12$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(7)^2 - 4 * (-1) * (-12) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
comprobamos:
$$x_{1} = 3$$
$$\sqrt{4 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} - 3} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(\sqrt{-3 + 3} + \sqrt{4 - 3}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = 4$$
$$\sqrt{4 - x_{2}} + \sqrt{x_{2} - 3} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(\sqrt{4 - 4} + \sqrt{-3 + 4}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$