sqrt(2x+1)-sqrt(x-1)=sqrt3 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{2 x + 1} = \sqrt{3}$$
cambiamos:
$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{2 x + 1} = \sqrt{3}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{2 x + 1}\right)^{2} = 3$$
o
$$1^{2} \left(2 x + 1\right) + \left(- 2 \sqrt{\left(x - 1\right) \left(2 x + 1\right)} + \left(-1\right)^{2} \left(x - 1\right)\right) = 3$$
o
$$3 x - 2 \sqrt{2 x^{2} - x - 1} = 3$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{2 x^{2} - x - 1} = 3 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} - 4 x - 4 = \left(3 - 3 x\right)^{2}$$
$$8 x^{2} - 4 x - 4 = 9 x^{2} - 18 x + 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 14 x - 13 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 14$$
$$c = -13$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(14)^2 - 4 * (-1) * (-13) = 144

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 13$$

Como
$$\sqrt{2 x^{2} - x - 1} = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} - x - 1} \geq 0$$
entonces
$$\frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} \geq 0$$
o
$$1 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 13$$
comprobamos:
$$x_{1} = 1$$
$$- \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{2 x_{1} + 1} - \sqrt{3} = 0$$
=
$$- \sqrt{3} + \left(- \sqrt{-1 + 1} + \sqrt{1 + 2}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = 13$$
$$- \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{2 x_{2} + 1} - \sqrt{3} = 0$$
=
$$- \sqrt{3} + \left(- \sqrt{-1 + 13} + \sqrt{1 + 2 \cdot 13}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 13$$