sqrt(x+5)=3-sqrt(2*x+3) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 5} = 3 - \sqrt{2 x + 3}$$
cambiamos:
$$\sqrt{x + 5} + \sqrt{2 x + 3} = 3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x + 5} + \sqrt{2 x + 3}\right)^{2} = 9$$
o
$$1^{2} \left(2 x + 3\right) + \left(2 \sqrt{\left(x + 5\right) \left(2 x + 3\right)} + 1^{2} \left(x + 5\right)\right) = 9$$
o
$$3 x + 2 \sqrt{2 x^{2} + 13 x + 15} + 8 = 9$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{2 x^{2} + 13 x + 15} = 1 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} + 52 x + 60 = \left(1 - 3 x\right)^{2}$$
$$8 x^{2} + 52 x + 60 = 9 x^{2} - 6 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 58 x + 59 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 58$$
$$c = 59$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(58)^2 - 4 * (-1) * (59) = 3600

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 59$$

Como
$$\sqrt{2 x^{2} + 13 x + 15} = \frac{1}{2} - \frac{3 x}{2}$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} + 13 x + 15} \geq 0$$
entonces
$$\frac{1}{2} - \frac{3 x}{2} \geq 0$$
o
$$x \leq \frac{1}{3}$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = -1$$
comprobamos:
$$x_{1} = -1$$
$$\sqrt{x_{1} + 5} + \sqrt{2 x_{1} + 3} - 3 = 0$$
=
$$\left(-3 + \sqrt{\left(-1\right) 2 + 3}\right) + \sqrt{-1 + 5} = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -1$$