((|4x+1|))=2 la ecuación

Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$4 x + 1 \geq 0$$
o
$$- \frac{1}{4} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(4 x + 1\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$4 x - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$

2.
$$4 x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{4}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- 4 x - 1\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 4 x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$


Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$