x=1+sqrt(x+11) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$x = \sqrt{x + 11} + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- \sqrt{x + 11} = 1 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x + 11 = \left(1 - x\right)^{2}$$
$$x + 11 = x^{2} - 2 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 3 x + 10 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 3$$
$$c = 10$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (-1) * (10) = 49

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 5$$

Como
$$\sqrt{x + 11} = x - 1$$
y
$$\sqrt{x + 11} \geq 0$$
entonces
$$x - 1 \geq 0$$
o
$$1 \leq x$$
$$x < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = 5$$