Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ f(x)=(6x^2-x-1)/(3x+1)

Gráfico de la función y = f(x)=(6x^2-x-1)/(3x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2        
       6*x  - x - 1
f(x) = ------------
         3*x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(6 x^{2} - x\right) - 1}{3 x + 1}$$ 
f = (6*x^2 - x - 1)/(3*x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(6 x^{2} - x\right) - 1}{3 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (6*x^2 - x - 1)/(3*x + 1).
$$\frac{-1 + \left(6 \cdot 0^{2} - 0\right)}{0 \cdot 3 + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{12 x - 1}{3 x + 1} - \frac{3 \left(\left(6 x^{2} - x\right) - 1\right)}{\left(3 x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(2 - \frac{12 x - 1}{3 x + 1} - \frac{3 \left(- 6 x^{2} + x + 1\right)}{\left(3 x + 1\right)^{2}}\right)}{3 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(6 x^{2} - x\right) - 1}{3 x + 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(6 x^{2} - x\right) - 1}{3 x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (6*x^2 - x - 1)/(3*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(6 x^{2} - x\right) - 1}{x \left(3 x + 1\right)}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(6 x^{2} - x\right) - 1}{x \left(3 x + 1\right)}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(6 x^{2} - x\right) - 1}{3 x + 1} = \frac{6 x^{2} + x - 1}{1 - 3 x}$$
- No
$$\frac{\left(6 x^{2} - x\right) - 1}{3 x + 1} = - \frac{6 x^{2} + x - 1}{1 - 3 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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