Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin((1-x^2)/(1+x^2))

Gráfico de la función y = arcsin((1-x^2)/(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /     2\
           |1 - x |
f(x) = asin|------|
           |     2|
           \1 + x /
f(x)=asin⁡(1−x2x2+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} 
f = asin((1 - x^2)/(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(1−x2x2+1)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((1 - x^2)/(1 + x^2)).
asin⁡(1−0202+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - 0^{2}}{0^{2} + 1} \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(1−x2)(x2+1)2−2xx2+1−(1−x2)2(x2+1)2+1=0\frac{- \frac{2 x \left(1 - x^{2}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\sqrt{- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(4x2(x2−1)(x2+1)2+2x2(x2−1)(x2−1x2+1−1)2(x2+1)2(−(1−x2)2(x2+1)2+1)−4x2x2+1−x2−1x2+1+1)(x2+1)−(1−x2)2(x2+1)2+1=0- \frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right)} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right) \sqrt{- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(1−x2x2+1)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞asin⁡(1−x2x2+1)=−π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((1 - x^2)/(1 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(1−x2x2+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(1−x2x2+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(1−x2x2+1)=asin⁡(1−x2x2+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}
- Sí
asin⁡(1−x2x2+1)=−asin⁡(1−x2x2+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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