Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 15 x^{4} \sin{\left(3 x^{5} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[5]{\pi}$$
$$x_{3} = \frac{3^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
5 ____
(\/ pi, -1)
4/5 5 ____
3 *\/ pi
(-----------, -1)
3
5 ___ 4/5 5 ____
\/ 2 *3 *\/ pi
(-----------------, 1)
3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt[5]{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{3}, \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{3}\right] \cup \left[\sqrt[5]{\pi}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{\pi}}{3}, \sqrt[5]{\pi}\right]$$