Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-12
-
x^3-12*x+7
-
x^3/3-2*x^2
-
x^2*e^((-1)/x)
-
Expresiones idénticas
- cos(x^π)
- coseno de (x en el grado π)
- cos(xπ)
- cosxπ
- cosx^π
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2-sqrt(x))/(1+sqrt(x))
- cos(3,8*t)+cos(3*t)
- cos(3x/2)-4tg(7x/5)+2cos(3x)
- cos(x-1)*sin(x+1)
- cos(3*x^5)
Gráfico de la función y = cos(x^π)
Solución
Ha introducido
[src]
/ pi\ f(x) = cos\x /
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{\pi} \right)}$$
f = cos(x^pi)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x^{\pi} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{\pi}}$$
$$x_{2} = \left(\frac{3 \pi}{2}\right)^{\frac{1}{\pi}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 28.2546667545546$$
$$x_{2} = 59.9445317961083$$
$$x_{3} = 75.9487677773596$$
$$x_{4} = 14.6463371476359$$
$$x_{5} = 64.155494325007$$
$$x_{6} = 21.0073087401832$$
$$x_{7} = 50.5816974594454$$
$$x_{8} = 2.14501313862203$$
$$x_{9} = 58.1931493783723$$
$$x_{10} = 100.309815692748$$
$$x_{11} = 10.2971646456217$$
$$x_{12} = 68.2689263261285$$
$$x_{13} = 72.1565692999372$$
$$x_{14} = 3.44462593214871$$
$$x_{15} = 4.18156855451269$$
$$x_{16} = 39.0932790546874$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x^{\pi} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{\pi}}$$
$$x_{2} = \left(\frac{3 \pi}{2}\right)^{\frac{1}{\pi}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 28.2546667545546$$
$$x_{2} = 59.9445317961083$$
$$x_{3} = 75.9487677773596$$
$$x_{4} = 14.6463371476359$$
$$x_{5} = 64.155494325007$$
$$x_{6} = 21.0073087401832$$
$$x_{7} = 50.5816974594454$$
$$x_{8} = 2.14501313862203$$
$$x_{9} = 58.1931493783723$$
$$x_{10} = 100.309815692748$$
$$x_{11} = 10.2971646456217$$
$$x_{12} = 68.2689263261285$$
$$x_{13} = 72.1565692999372$$
$$x_{14} = 3.44462593214871$$
$$x_{15} = 4.18156855451269$$
$$x_{16} = 39.0932790546874$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\pi x^{\pi} \sin{\left(x^{\pi} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \pi^{\frac{1}{\pi}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi^{\frac{1}{\pi}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi^{\frac{1}{\pi}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \pi^{\frac{1}{\pi}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\pi x^{\pi} \sin{\left(x^{\pi} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \pi^{\frac{1}{\pi}}$$
Signos de extremos en los puntos:
pi____ (\/ pi, -1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi^{\frac{1}{\pi}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi^{\frac{1}{\pi}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \pi^{\frac{1}{\pi}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\pi x^{\pi} \left(- \pi x^{\pi} \cos{\left(x^{\pi} \right)} - \pi \sin{\left(x^{\pi} \right)} + \sin{\left(x^{\pi} \right)}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 36.5072020039258$$
$$x_{2} = 9.79710580447211$$
$$x_{3} = 45.2727530205335$$
$$x_{4} = 14.1056628604696$$
$$x_{5} = 7.08692663870108$$
$$x_{6} = 2.1488293250734$$
$$x_{7} = 26.8009557189411$$
$$x_{8} = 63.6151360682534$$
$$x_{9} = 21.3089029710937$$
$$x_{10} = 3.82293315664493$$
$$x_{11} = 56.2063520652621$$
$$x_{12} = 86.2147811673683$$
$$x_{13} = 15.9146916117783$$
$$x_{14} = 27.3557510981194$$
$$x_{15} = 8.67823174805188$$
$$x_{16} = 4.13441596571338$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[86.2147811673683, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 8.67823174805188\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\pi x^{\pi} \left(- \pi x^{\pi} \cos{\left(x^{\pi} \right)} - \pi \sin{\left(x^{\pi} \right)} + \sin{\left(x^{\pi} \right)}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 36.5072020039258$$
$$x_{2} = 9.79710580447211$$
$$x_{3} = 45.2727530205335$$
$$x_{4} = 14.1056628604696$$
$$x_{5} = 7.08692663870108$$
$$x_{6} = 2.1488293250734$$
$$x_{7} = 26.8009557189411$$
$$x_{8} = 63.6151360682534$$
$$x_{9} = 21.3089029710937$$
$$x_{10} = 3.82293315664493$$
$$x_{11} = 56.2063520652621$$
$$x_{12} = 86.2147811673683$$
$$x_{13} = 15.9146916117783$$
$$x_{14} = 27.3557510981194$$
$$x_{15} = 8.67823174805188$$
$$x_{16} = 4.13441596571338$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[86.2147811673683, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 8.67823174805188\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x^{\pi} \right)} = \cos{\left(\infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\pi} \right)} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \cos{\left(\infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\pi} \right)} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x^{\pi} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x^{\pi} \right)} = \cos{\left(\infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\pi} \right)} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \cos{\left(\infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\pi} \right)} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x^{\pi} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x^pi), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x^{\pi} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x^{\pi} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x^{\pi} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x^{\pi} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x^{\pi} \right)} = \cos{\left(\left(- x\right)^{\pi} \right)}$$
- No
$$\cos{\left(x^{\pi} \right)} = - \cos{\left(\left(- x\right)^{\pi} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x^{\pi} \right)} = \cos{\left(\left(- x\right)^{\pi} \right)}$$
- No
$$\cos{\left(x^{\pi} \right)} = - \cos{\left(\left(- x\right)^{\pi} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar