Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(2-sqrt(x))/(1+sqrt(x))

Gráfico de la función y = cos(2-sqrt(x))/(1+sqrt(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /      ___\
       cos\2 - \/ x /
f(x) = --------------
               ___   
         1 + \/ x
f(x)=cos⁡(2−x)x+1f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} + 1} 
f = cos(2 - sqrt(x))/(sqrt(x) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(2−x)x+1=0\frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=(4+3π)24x_{1} = \frac{\left(4 + 3 \pi\right)^{2}}{4}
x2=(π+4)24x_{2} = \frac{\left(\pi + 4\right)^{2}}{4}
Solución numérica
x1=12.7505864074519x_{1} = 12.7505864074519
x2=168.884951063602x_{2} = 168.884951063602
x3=0.184215793092753x_{3} = 0.184215793092753
x4=97.1009540427064x_{4} = 97.1009540427064
x5=45.0561658239898x_{5} = 45.0561658239898
x6=260.408156886676x_{6} = 260.408156886676
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2 - sqrt(x))/(1 + sqrt(x)).
cos⁡(2−0)0+1\frac{\cos{\left(2 - \sqrt{0} \right)}}{\sqrt{0} + 1}
Resultado:
f(0)=cos⁡(2)f{\left(0 \right)} = \cos{\left(2 \right)}
Punto:
(0, cos(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x−2)2x(x+1)−cos⁡(2−x)2x(x+1)2=0- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)} - \frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=311.678118149833x_{1} = 311.678118149833
x2=24.7584561799262x_{2} = 24.7584561799262
x3=432.794945356713x_{3} = 432.794945356713
x4=2.68177574645584x_{4} = 2.68177574645584
x5=66.8243716007287x_{5} = 66.8243716007287
x6=573.654789151658x_{6} = 573.654789151658
x7=734.25637630254x_{7} = 734.25637630254
x8=128.685044987539x_{8} = 128.685044987539
Signos de extremos en los puntos:
(311.67811814983287, -0.0535297748055335)

(24.75845617992616, -0.165046997951819)

(432.7949453567125, 0.0458155634936538)

(2.681775746455837, 0.354507382099252)

(66.82437160072871, 0.108354631918751)

(573.6547891516576, -0.0400462569999037)

(734.2563763025402, 0.035568258673744)

(128.68504498753938, -0.0807468596712698)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=311.678118149833x_{1} = 311.678118149833
x2=24.7584561799262x_{2} = 24.7584561799262
x3=573.654789151658x_{3} = 573.654789151658
x4=128.685044987539x_{4} = 128.685044987539
Puntos máximos de la función:
x4=432.794945356713x_{4} = 432.794945356713
x4=2.68177574645584x_{4} = 2.68177574645584
x4=66.8243716007287x_{4} = 66.8243716007287
x4=734.25637630254x_{4} = 734.25637630254
Decrece en los intervalos
[573.654789151658,∞)\left[573.654789151658, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,24.7584561799262]\left(-\infty, 24.7584561799262\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(cos⁡(2−x)x+1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} + 1}\right)
lim⁡x→∞(cos⁡(2−x)x+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2 - sqrt(x))/(1 + sqrt(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cos⁡(2−x)x(x+1))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)}\right)
lim⁡x→∞(cos⁡(2−x)x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(2−x)x+1=cos⁡(−x−2)−x+1\frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\cos{\left(\sqrt{- x} - 2 \right)}}{\sqrt{- x} + 1}
- No
cos⁡(2−x)x+1=−cos⁡(−x−2)−x+1\frac{\cos{\left(2 - \sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} + 1} = - \frac{\cos{\left(\sqrt{- x} - 2 \right)}}{\sqrt{- x} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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