Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x)-sin(2)*5*x+e/x

Gráfico de la función y = cos(x)-sin(2)*5*x+e/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                             E
f(x) = cos(x) - sin(2)*5*x + -
                             x
f(x)=(−x5sin⁡(2)+cos⁡(x))+exf{\left(x \right)} = \left(- x 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{e}{x} 
f = -x*5*sin(2) + cos(x) + E/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x5sin⁡(2)+cos⁡(x))+ex=0\left(- x 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{e}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.849277032614121x_{1} = 0.849277032614121
x2=−0.693254670698672x_{2} = -0.693254670698672
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - sin(2)*5*x + E/x.
e0+(−0⋅5sin⁡(2)+cos⁡(0))\frac{e}{0} + \left(- 0 \cdot 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−5sin⁡(2)−ex2=0- \sin{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(2 \right)} - \frac{e}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)+2ex3=0- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 e}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−67.544224409693x_{1} = -67.544224409693
x2=−2.14979364899401x_{2} = -2.14979364899401
x3=89.535383053046x_{3} = 89.535383053046
x4=−4.65859045198857x_{4} = -4.65859045198857
x5=−54.9778387217243x_{5} = -54.9778387217243
x6=−89.5353982015684x_{6} = -89.5353982015684
x7=61.2610803916999x_{7} = 61.2610803916999
x8=7.84271134689507x_{8} = 7.84271134689507
x9=54.9779041538017x_{9} = 54.9779041538017
x10=64.4026290462817x_{10} = 64.4026290462817
x11=10.9996592492776x_{11} = 10.9996592492776
x12=−86.3937895427617x_{12} = -86.3937895427617
x13=−92.6769764510844x_{13} = -92.6769764510844
x14=80.110623240901x_{14} = 80.110623240901
x15=−70.6858500989033x_{15} = -70.6858500989033
x16=−42.4114295585518x_{16} = -42.4114295585518
x17=58.1194363990304x_{17} = 58.1194363990304
x18=14.1352420108913x_{18} = 14.1352420108913
x19=−83.2522147419991x_{19} = -83.2522147419991
x20=42.4115720876542x_{20} = 42.4115720876542
x21=−7.86515570791217x_{21} = -7.86515570791217
x22=48.6947332152006x_{22} = 48.6947332152006
x23=−95.8185821143006x_{23} = -95.8185821143006
x24=−26.7038230542287x_{24} = -26.7038230542287
x25=98.9601741978235x_{25} = 98.9601741978235
x26=−45.5531509904739x_{26} = -45.5531509904739
x27=−80.11060209217x_{27} = -80.11060209217
x28=−1518.96004800911x_{28} = -1518.96004800911
x29=76.9690080901898x_{29} = 76.9690080901898
x30=−36.1282002279131x_{30} = -36.1282002279131
x31=−29.8449256998443x_{31} = -29.8449256998443
x32=−32.9868743237493x_{32} = -32.9868743237493
x33=−98.9601629783315x_{33} = -98.9601629783315
x34=92.6769901107104x_{34} = 92.6769901107104
x35=−48.6946390458098x_{35} = -48.6946390458098
x36=−14.1390903000961x_{36} = -14.1390903000961
x37=32.9865713974636x_{37} = 32.9865713974636
x38=−387.986692625256x_{38} = -387.986692625256
x39=67.5442596946405x_{39} = 67.5442596946405
x40=−111.526535283306x_{40} = -111.526535283306
x41=26.7032520384822x_{41} = 26.7032520384822
x42=−10.9914801998303x_{42} = -10.9914801998303
x43=−73.8274138488574x_{43} = -73.8274138488574
x44=86.393806404672x_{44} = 86.393806404672
x45=−64.4026697508612x_{45} = -64.4026697508612
x46=51.8362397519437x_{46} = 51.8362397519437
x47=39.2698183964464x_{47} = 39.2698183964464
x48=−51.8363178163431x_{48} = -51.8363178163431
x49=−39.2699979420671x_{49} = -39.2699979420671
x50=45.5530359631944x_{50} = 45.5530359631944
x51=83.2521958982535x_{51} = 83.2521958982535
x52=−20.4209906501113x_{52} = -20.4209906501113
x53=230.907060480433x_{53} = 230.907060480433
x54=4.76273202767283x_{54} = 4.76273202767283
x55=29.8453347099539x_{55} = 29.8453347099539
x56=−76.969031935699x_{56} = -76.969031935699
x57=23.5623604948061x_{57} = 23.5623604948061
x58=−23.561529265054x_{58} = -23.561529265054
x59=−61.2610330982472x_{59} = -61.2610330982472
x60=73.8274408698481x_{60} = 73.8274408698481
x61=70.6858193126172x_{61} = 70.6858193126172
x62=17.2798132715555x_{62} = 17.2798132715555
x63=20.4197137267834x_{63} = 20.4197137267834
x64=−58.1194917837128x_{64} = -58.1194917837128
x65=95.8185697546744x_{65} = 95.8185697546744
x66=−17.2777055322651x_{66} = -17.2777055322651
x67=36.1284308024448x_{67} = 36.1284308024448
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−cos⁡(x)+2ex3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 e}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−cos⁡(x)+2ex3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 e}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[95.8185697546744,∞)\left[95.8185697546744, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1518.96004800911]\left(-\infty, -1518.96004800911\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x5sin⁡(2)+cos⁡(x))+ex)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{e}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x5sin⁡(2)+cos⁡(x))+ex)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{e}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - sin(2)*5*x + E/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x5sin⁡(2)+cos⁡(x))+exx)=−5sin⁡(2)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{e}{x}}{x}\right) = - 5 \sin{\left(2 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−5xsin⁡(2)y = - 5 x \sin{\left(2 \right)}
lim⁡x→∞((−x5sin⁡(2)+cos⁡(x))+exx)=−5sin⁡(2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{e}{x}}{x}\right) = - 5 \sin{\left(2 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−5xsin⁡(2)y = - 5 x \sin{\left(2 \right)}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x5sin⁡(2)+cos⁡(x))+ex=5xsin⁡(2)+cos⁡(x)−ex\left(- x 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{e}{x} = 5 x \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)} - \frac{e}{x}
- No
(−x5sin⁡(2)+cos⁡(x))+ex=−5xsin⁡(2)−cos⁡(x)+ex\left(- x 5 \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{e}{x} = - 5 x \sin{\left(2 \right)} - \cos{\left(x \right)} + \frac{e}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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