Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- cos(x)^ dos /(dos *(uno +cos(x)^ dos))
- coseno de (x) al cuadrado dividir por (2 multiplicar por (1 más coseno de (x) al cuadrado ))
- coseno de (x) en el grado dos dividir por (dos multiplicar por (uno más coseno de (x) en el grado dos))
- cos(x)2/(2*(1+cos(x)2))
- cosx2/2*1+cosx2
- cos(x)²/(2*(1+cos(x)²))
- cos(x) en el grado 2/(2*(1+cos(x) en el grado 2))
- cos(x)^2/(2(1+cos(x)^2))
- cos(x)2/(2(1+cos(x)2))
- cosx2/21+cosx2
- cosx^2/21+cosx^2
- cos(x)^2 dividir por (2*(1+cos(x)^2))
-
Expresiones semejantes
- cos(x)^2/(2*(1-cos(x)^2))
- cosx^2/(2*(1+cosx^2))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(2acos(x))
- cos(x)^4/sin(x)^8
- cos(x)+2/x
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(2acos(x))
- cos(x)^4/sin(x)^8
- cos(x)+2/x
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
Gráfico de la función y = cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
Solución
Ha introducido
[src]
2
cos (x)
f(x) = ---------------
/ 2 \
2*\1 + cos (x)/
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}$$
f = cos(x)^2/((2*(cos(x)^2 + 1)))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 26.7035375938913$$
$$x_{2} = 17.2787595633899$$
$$x_{3} = 32.9867228941353$$
$$x_{4} = -98.9601684093104$$
$$x_{5} = -67.5442421564402$$
$$x_{6} = 76.969020040638$$
$$x_{7} = 29.8451303102952$$
$$x_{8} = -48.6946861222051$$
$$x_{9} = -36.1283154261993$$
$$x_{10} = -95.8185758684594$$
$$x_{11} = -1.57079642164044$$
$$x_{12} = -32.9867227489063$$
$$x_{13} = -45.5530935782908$$
$$x_{14} = 64.4026493142196$$
$$x_{15} = 98.9601686017849$$
$$x_{16} = -14.1371668471947$$
$$x_{17} = 61.2610566820223$$
$$x_{18} = 70.685834566047$$
$$x_{19} = 14.1371670871753$$
$$x_{20} = 89.5353907674826$$
$$x_{21} = 1.57079647069791$$
$$x_{22} = -95.8185759201621$$
$$x_{23} = 136.659279422688$$
$$x_{24} = 7.85398174549375$$
$$x_{25} = -42.4115006785877$$
$$x_{26} = -92.6769832504273$$
$$x_{27} = 86.3937976593223$$
$$x_{28} = -51.8362786914439$$
$$x_{29} = -61.2610568791177$$
$$x_{30} = 67.5442421935219$$
$$x_{31} = 83.2522052396831$$
$$x_{32} = -70.6858346859033$$
$$x_{33} = -4.71238899750462$$
$$x_{34} = -39.2699079506635$$
$$x_{35} = -89.5353907344725$$
$$x_{36} = 67.5442420093282$$
$$x_{37} = -10.9955741932579$$
$$x_{38} = 149.225651356968$$
$$x_{39} = -20.4203521038741$$
$$x_{40} = 20.4203521568611$$
$$x_{41} = -39.2699083053871$$
$$x_{42} = 48.6946859914123$$
$$x_{43} = -23.5619450000243$$
$$x_{44} = -54.9778713034237$$
$$x_{45} = -39.2699066302699$$
$$x_{46} = 86.3937978930783$$
$$x_{47} = 26.7035374169454$$
$$x_{48} = 51.8362788887955$$
$$x_{49} = -174.35839231001$$
$$x_{50} = -26.7035375593873$$
$$x_{51} = 80.1106131476371$$
$$x_{52} = -83.2522054526444$$
$$x_{53} = 39.2699081232466$$
$$x_{54} = -7.85398150586668$$
$$x_{55} = -86.3937978284268$$
$$x_{56} = -76.9690199513052$$
$$x_{57} = -111.526538625772$$
$$x_{58} = 36.1283155349742$$
$$x_{59} = -58.1194641200293$$
$$x_{60} = -80.1106125847763$$
$$x_{61} = 95.8185760453363$$
$$x_{62} = 4.71238884265206$$
$$x_{63} = -73.8274272808401$$
$$x_{64} = 73.8274274671408$$
$$x_{65} = -29.8451300998261$$
$$x_{66} = 58.1194645155376$$
$$x_{67} = 45.5530936194006$$
$$x_{68} = 23.5619444674042$$
$$x_{69} = -64.4026492534396$$
$$x_{70} = 92.6769831408439$$
$$x_{71} = 32.9867229214717$$
$$x_{72} = 7.85398173163416$$
$$x_{73} = -58.1194640053894$$
$$x_{74} = -76.9690198568601$$
$$x_{75} = 23.5619450451243$$
$$x_{76} = 54.977871480518$$
$$x_{77} = 42.4115007354808$$
$$x_{78} = -17.2787597314612$$
$$x_{79} = 10.9955743635376$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 26.7035375938913$$
$$x_{2} = 17.2787595633899$$
$$x_{3} = 32.9867228941353$$
$$x_{4} = -98.9601684093104$$
$$x_{5} = -67.5442421564402$$
$$x_{6} = 76.969020040638$$
$$x_{7} = 29.8451303102952$$
$$x_{8} = -48.6946861222051$$
$$x_{9} = -36.1283154261993$$
$$x_{10} = -95.8185758684594$$
$$x_{11} = -1.57079642164044$$
$$x_{12} = -32.9867227489063$$
$$x_{13} = -45.5530935782908$$
$$x_{14} = 64.4026493142196$$
$$x_{15} = 98.9601686017849$$
$$x_{16} = -14.1371668471947$$
$$x_{17} = 61.2610566820223$$
$$x_{18} = 70.685834566047$$
$$x_{19} = 14.1371670871753$$
$$x_{20} = 89.5353907674826$$
$$x_{21} = 1.57079647069791$$
$$x_{22} = -95.8185759201621$$
$$x_{23} = 136.659279422688$$
$$x_{24} = 7.85398174549375$$
$$x_{25} = -42.4115006785877$$
$$x_{26} = -92.6769832504273$$
$$x_{27} = 86.3937976593223$$
$$x_{28} = -51.8362786914439$$
$$x_{29} = -61.2610568791177$$
$$x_{30} = 67.5442421935219$$
$$x_{31} = 83.2522052396831$$
$$x_{32} = -70.6858346859033$$
$$x_{33} = -4.71238899750462$$
$$x_{34} = -39.2699079506635$$
$$x_{35} = -89.5353907344725$$
$$x_{36} = 67.5442420093282$$
$$x_{37} = -10.9955741932579$$
$$x_{38} = 149.225651356968$$
$$x_{39} = -20.4203521038741$$
$$x_{40} = 20.4203521568611$$
$$x_{41} = -39.2699083053871$$
$$x_{42} = 48.6946859914123$$
$$x_{43} = -23.5619450000243$$
$$x_{44} = -54.9778713034237$$
$$x_{45} = -39.2699066302699$$
$$x_{46} = 86.3937978930783$$
$$x_{47} = 26.7035374169454$$
$$x_{48} = 51.8362788887955$$
$$x_{49} = -174.35839231001$$
$$x_{50} = -26.7035375593873$$
$$x_{51} = 80.1106131476371$$
$$x_{52} = -83.2522054526444$$
$$x_{53} = 39.2699081232466$$
$$x_{54} = -7.85398150586668$$
$$x_{55} = -86.3937978284268$$
$$x_{56} = -76.9690199513052$$
$$x_{57} = -111.526538625772$$
$$x_{58} = 36.1283155349742$$
$$x_{59} = -58.1194641200293$$
$$x_{60} = -80.1106125847763$$
$$x_{61} = 95.8185760453363$$
$$x_{62} = 4.71238884265206$$
$$x_{63} = -73.8274272808401$$
$$x_{64} = 73.8274274671408$$
$$x_{65} = -29.8451300998261$$
$$x_{66} = 58.1194645155376$$
$$x_{67} = 45.5530936194006$$
$$x_{68} = 23.5619444674042$$
$$x_{69} = -64.4026492534396$$
$$x_{70} = 92.6769831408439$$
$$x_{71} = 32.9867229214717$$
$$x_{72} = 7.85398173163416$$
$$x_{73} = -58.1194640053894$$
$$x_{74} = -76.9690198568601$$
$$x_{75} = 23.5619450451243$$
$$x_{76} = 54.977871480518$$
$$x_{77} = 42.4115007354808$$
$$x_{78} = -17.2787597314612$$
$$x_{79} = 10.9955743635376$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/4)
-pi (----, 0) 2
pi (--, 0) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} - \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 1\right)} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 2\right)} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 3\right)} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 1\right)} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 2\right)} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} - \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 1\right)} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 2\right)} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 3\right)} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 1\right)} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 2\right)} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2/((2*(1 + cos(x)^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}$$
- Sí
$$\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}$$
- Sí
$$\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}$$
- No
es decir, función
es
par