Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))

Gráfico de la función y = cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2       
           cos (x)    
f(x) = ---------------
         /       2   \
       2*\1 + cos (x)/
f(x)=cos⁡2(x)2(cos⁡2(x)+1)f{\left(x \right)} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} 
f = cos(x)^2/((2*(cos(x)^2 + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.000.50
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡2(x)2(cos⁡2(x)+1)=0\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=26.7035375938913x_{1} = 26.7035375938913
x2=17.2787595633899x_{2} = 17.2787595633899
x3=32.9867228941353x_{3} = 32.9867228941353
x4=−98.9601684093104x_{4} = -98.9601684093104
x5=−67.5442421564402x_{5} = -67.5442421564402
x6=76.969020040638x_{6} = 76.969020040638
x7=29.8451303102952x_{7} = 29.8451303102952
x8=−48.6946861222051x_{8} = -48.6946861222051
x9=−36.1283154261993x_{9} = -36.1283154261993
x10=−95.8185758684594x_{10} = -95.8185758684594
x11=−1.57079642164044x_{11} = -1.57079642164044
x12=−32.9867227489063x_{12} = -32.9867227489063
x13=−45.5530935782908x_{13} = -45.5530935782908
x14=64.4026493142196x_{14} = 64.4026493142196
x15=98.9601686017849x_{15} = 98.9601686017849
x16=−14.1371668471947x_{16} = -14.1371668471947
x17=61.2610566820223x_{17} = 61.2610566820223
x18=70.685834566047x_{18} = 70.685834566047
x19=14.1371670871753x_{19} = 14.1371670871753
x20=89.5353907674826x_{20} = 89.5353907674826
x21=1.57079647069791x_{21} = 1.57079647069791
x22=−95.8185759201621x_{22} = -95.8185759201621
x23=136.659279422688x_{23} = 136.659279422688
x24=7.85398174549375x_{24} = 7.85398174549375
x25=−42.4115006785877x_{25} = -42.4115006785877
x26=−92.6769832504273x_{26} = -92.6769832504273
x27=86.3937976593223x_{27} = 86.3937976593223
x28=−51.8362786914439x_{28} = -51.8362786914439
x29=−61.2610568791177x_{29} = -61.2610568791177
x30=67.5442421935219x_{30} = 67.5442421935219
x31=83.2522052396831x_{31} = 83.2522052396831
x32=−70.6858346859033x_{32} = -70.6858346859033
x33=−4.71238899750462x_{33} = -4.71238899750462
x34=−39.2699079506635x_{34} = -39.2699079506635
x35=−89.5353907344725x_{35} = -89.5353907344725
x36=67.5442420093282x_{36} = 67.5442420093282
x37=−10.9955741932579x_{37} = -10.9955741932579
x38=149.225651356968x_{38} = 149.225651356968
x39=−20.4203521038741x_{39} = -20.4203521038741
x40=20.4203521568611x_{40} = 20.4203521568611
x41=−39.2699083053871x_{41} = -39.2699083053871
x42=48.6946859914123x_{42} = 48.6946859914123
x43=−23.5619450000243x_{43} = -23.5619450000243
x44=−54.9778713034237x_{44} = -54.9778713034237
x45=−39.2699066302699x_{45} = -39.2699066302699
x46=86.3937978930783x_{46} = 86.3937978930783
x47=26.7035374169454x_{47} = 26.7035374169454
x48=51.8362788887955x_{48} = 51.8362788887955
x49=−174.35839231001x_{49} = -174.35839231001
x50=−26.7035375593873x_{50} = -26.7035375593873
x51=80.1106131476371x_{51} = 80.1106131476371
x52=−83.2522054526444x_{52} = -83.2522054526444
x53=39.2699081232466x_{53} = 39.2699081232466
x54=−7.85398150586668x_{54} = -7.85398150586668
x55=−86.3937978284268x_{55} = -86.3937978284268
x56=−76.9690199513052x_{56} = -76.9690199513052
x57=−111.526538625772x_{57} = -111.526538625772
x58=36.1283155349742x_{58} = 36.1283155349742
x59=−58.1194641200293x_{59} = -58.1194641200293
x60=−80.1106125847763x_{60} = -80.1106125847763
x61=95.8185760453363x_{61} = 95.8185760453363
x62=4.71238884265206x_{62} = 4.71238884265206
x63=−73.8274272808401x_{63} = -73.8274272808401
x64=73.8274274671408x_{64} = 73.8274274671408
x65=−29.8451300998261x_{65} = -29.8451300998261
x66=58.1194645155376x_{66} = 58.1194645155376
x67=45.5530936194006x_{67} = 45.5530936194006
x68=23.5619444674042x_{68} = 23.5619444674042
x69=−64.4026492534396x_{69} = -64.4026492534396
x70=92.6769831408439x_{70} = 92.6769831408439
x71=32.9867229214717x_{71} = 32.9867229214717
x72=7.85398173163416x_{72} = 7.85398173163416
x73=−58.1194640053894x_{73} = -58.1194640053894
x74=−76.9690198568601x_{74} = -76.9690198568601
x75=23.5619450451243x_{75} = 23.5619450451243
x76=54.977871480518x_{76} = 54.977871480518
x77=42.4115007354808x_{77} = 42.4115007354808
x78=−17.2787597314612x_{78} = -17.2787597314612
x79=10.9955743635376x_{79} = 10.9955743635376
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^2/((2*(1 + cos(x)^2))).
cos⁡2(0)2(1+cos⁡2(0))\frac{\cos^{2}{\left(0 \right)}}{2 \left(1 + \cos^{2}{\left(0 \right)}\right)}
Resultado:
f(0)=14f{\left(0 \right)} = \frac{1}{4}
Punto:
(0, 1/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−212(cos⁡2(x)+1)sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡3(x)(cos⁡2(x)+1)2=0- 2 \frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/4)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡2(x)−cos⁡2(x)+(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)+4sin⁡2(x)cos⁡2(x)cos⁡2(x)+1)cos⁡2(x)cos⁡2(x)+1−4sin⁡2(x)cos⁡2(x)cos⁡2(x)+1cos⁡2(x)+1=0\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} - \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(CRootOf⁡(x8+2x6−14x4+2x2+1,0))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}
x2=2atan⁡(CRootOf⁡(x8+2x6−14x4+2x2+1,1))x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 1\right)} \right)}
x3=2atan⁡(CRootOf⁡(x8+2x6−14x4+2x2+1,2))x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 2\right)} \right)}
x4=2atan⁡(CRootOf⁡(x8+2x6−14x4+2x2+1,3))x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 3\right)} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(CRootOf⁡(x8+2x6−14x4+2x2+1,0)),2atan⁡(CRootOf⁡(x8+2x6−14x4+2x2+1,1))]∪[2atan⁡(CRootOf⁡(x8+2x6−14x4+2x2+1,2)),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 1\right)} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 2\right)} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2atan⁡(CRootOf⁡(x8+2x6−14x4+2x2+1,0))]\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{8} + 2 x^{6} - 14 x^{4} + 2 x^{2} + 1, 0\right)} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)2(cos⁡2(x)+1))=⟨0,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,12⟩y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)2(cos⁡2(x)+1))=⟨0,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,12⟩y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2/((2*(1 + cos(x)^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(12(cos⁡2(x)+1)cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(12(cos⁡2(x)+1)cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡2(x)2(cos⁡2(x)+1)=cos⁡2(x)2(cos⁡2(x)+1)\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}
- Sí
cos⁡2(x)2(cos⁡2(x)+1)=−cos⁡2(x)2(cos⁡2(x)+1)\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}
- No
es decir, función
es
par
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