Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x)/log(x)^(2/3)

Gráfico de la función y = sqrt(x)/log(x)^(2/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ___  
         \/ x   
f(x) = ---------
          2/3   
       log   (x)
f(x)=xlog⁡(x)23f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{\log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}} 
f = sqrt(x)/log(x)^(2/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xlog⁡(x)23=0\frac{\sqrt{x}}{\log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x)/log(x)^(2/3).
0log⁡(0)23\frac{\sqrt{0}}{\log{\left(0 \right)}^{\frac{2}{3}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12xlog⁡(x)23−23xlog⁡(x)53=0\frac{1}{2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 \sqrt{x} \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e43x_{1} = e^{\frac{4}{3}}
Signos de extremos en los puntos:
        2/3  2/3 
  4/3  6   *e    
(e  , ---------)
           4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e43x_{1} = e^{\frac{4}{3}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e43,∞)\left[e^{\frac{4}{3}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e43]\left(-\infty, e^{\frac{4}{3}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(3+5log⁡(x))log⁡(x)−9−24log⁡(x)36x32log⁡(x)23=0\frac{\frac{8 \left(3 + \frac{5}{\log{\left(x \right)}}\right)}{\log{\left(x \right)}} - 9 - \frac{24}{\log{\left(x \right)}}}{36 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−2103x_{1} = e^{- \frac{2 \sqrt{10}}{3}}
x2=e2103x_{2} = e^{\frac{2 \sqrt{10}}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(8(3+5log⁡(x))log⁡(x)−9−24log⁡(x)36x32log⁡(x)23)=∞(−0.5−0.866025403784439i)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{8 \left(3 + \frac{5}{\log{\left(x \right)}}\right)}{\log{\left(x \right)}} - 9 - \frac{24}{\log{\left(x \right)}}}{36 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty \left(-0.5 - 0.866025403784439 i\right)
lim⁡x→1+(8(3+5log⁡(x))log⁡(x)−9−24log⁡(x)36x32log⁡(x)23)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{8 \left(3 + \frac{5}{\log{\left(x \right)}}\right)}{\log{\left(x \right)}} - 9 - \frac{24}{\log{\left(x \right)}}}{36 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−2103]\left(-\infty, e^{- \frac{2 \sqrt{10}}{3}}\right]
Convexa en los intervalos
[e2103,∞)\left[e^{\frac{2 \sqrt{10}}{3}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(x)23)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{\log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(x)23)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{\log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x)/log(x)^(2/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xlog⁡(x)23)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1xlog⁡(x)23)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xlog⁡(x)23=−xlog⁡(−x)23\frac{\sqrt{x}}{\log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\sqrt{- x}}{\log{\left(- x \right)}^{\frac{2}{3}}}
- No
xlog⁡(x)23=−−xlog⁡(−x)23\frac{\sqrt{x}}{\log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}} = - \frac{\sqrt{- x}}{\log{\left(- x \right)}^{\frac{2}{3}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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