Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{8 \left(3 + \frac{5}{\log{\left(x \right)}}\right)}{\log{\left(x \right)}} - 9 - \frac{24}{\log{\left(x \right)}}}{36 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \frac{2 \sqrt{10}}{3}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{2 \sqrt{10}}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{8 \left(3 + \frac{5}{\log{\left(x \right)}}\right)}{\log{\left(x \right)}} - 9 - \frac{24}{\log{\left(x \right)}}}{36 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty \left(-0.5 - 0.866025403784439 i\right)$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{8 \left(3 + \frac{5}{\log{\left(x \right)}}\right)}{\log{\left(x \right)}} - 9 - \frac{24}{\log{\left(x \right)}}}{36 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \frac{2 \sqrt{10}}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{\frac{2 \sqrt{10}}{3}}, \infty\right)$$