Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(x*log(x)^5)

Gráfico de la función y = 1/(x*log(x)^5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1    
f(x) = ---------
            5   
       x*log (x)
f(x)=1xlog⁡(x)5f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{5}} 
f = 1/(x*log(x)^5)
Gráfico de la función
100000000000030000000000005000000000000700000000000090000000000000.00.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1xlog⁡(x)5=0\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x*log(x)^5).
10log⁡(0)5\frac{1}{0 \log{\left(0 \right)}^{5}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1xlog⁡(x)5(−log⁡(x)5−5log⁡(x)4)xlog⁡(x)5=0\frac{\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{5}} \left(- \log{\left(x \right)}^{5} - 5 \log{\left(x \right)}^{4}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−5x_{1} = e^{-5}
Signos de extremos en los puntos:
        5  
  -5  -e   
(e , ----)
      3125


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e−5x_{1} = e^{-5}
Decrece en los intervalos
(−∞,e−5]\left(-\infty, e^{-5}\right]
Crece en los intervalos
[e−5,∞)\left[e^{-5}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+5log⁡(x))(log⁡(x)+5)−5(log⁡(x)+4)log⁡(x)+5(log⁡(x)+5)log⁡(x)+log⁡(x)+5x3log⁡(x)6=0\frac{\left(1 + \frac{5}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 5\right) - \frac{5 \left(\log{\left(x \right)} + 4\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{5 \left(\log{\left(x \right)} + 5\right)}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + 5}{x^{3} \log{\left(x \right)}^{6}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1xlog⁡(x)5=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{5}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1xlog⁡(x)5=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{5}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x*log(x)^5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x1log⁡(x)5x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{5}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x1log⁡(x)5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{5}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1xlog⁡(x)5=−1xlog⁡(−x)5\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{5}} = - \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{5}}
- No
1xlog⁡(x)5=1xlog⁡(−x)5\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{5}} = \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{5}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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