Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(x)+sin(2*x)-sin(3*x)

Gráfico de la función y = sin(x)+sin(2*x)-sin(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) + sin(2*x) - sin(3*x)
f(x)=(sin⁡(x)+sin⁡(2x))−sin⁡(3x)f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} 
f = sin(x) + sin(2*x) - sin(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡(x)+sin⁡(2x))−sin⁡(3x)=0\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=2π3x_{3} = \frac{2 \pi}{3}
x4=πx_{4} = \pi
Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=96.342174710087x_{2} = 96.342174710087
x3=31.4159494987662x_{3} = 31.4159494987662
x4=−2.0943951023932x_{4} = -2.0943951023932
x5=−21.9911485751286x_{5} = -21.9911485751286
x6=−96.342174710087x_{6} = -96.342174710087
x7=41.8879020478639x_{7} = 41.8879020478639
x8=−92.1533845053006x_{8} = -92.1533845053006
x9=39.7935069454707x_{9} = 39.7935069454707
x10=−29.3215314335047x_{10} = -29.3215314335047
x11=−50.2654136196456x_{11} = -50.2654136196456
x12=54.4542726622231x_{12} = 54.4542726622231
x13=−39.7935069454707x_{13} = -39.7935069454707
x14=−94.2477142538712x_{14} = -94.2477142538712
x15=48.1710873550435x_{15} = 48.1710873550435
x16=−41.8879020478639x_{16} = -41.8879020478639
x17=34.5575191894877x_{17} = 34.5575191894877
x18=8.37758040957278x_{18} = 8.37758040957278
x19=94.2477801894817x_{19} = 94.2477801894817
x20=−54.4542726622231x_{20} = -54.4542726622231
x21=79.5870138909414x_{21} = 79.5870138909414
x22=−8.37758040957278x_{22} = -8.37758040957278
x23=0x_{23} = 0
x24=98.4365698124802x_{24} = 98.4365698124802
x25=−77.4926187885482x_{25} = -77.4926187885482
x26=50.2654784092342x_{26} = 50.2654784092342
x27=−69.115098346029x_{27} = -69.115098346029
x28=87.964606307459x_{28} = 87.964606307459
x29=−65.9734457253857x_{29} = -65.9734457253857
x30=−90.0589894029074x_{30} = -90.0589894029074
x31=85.870199198121x_{31} = 85.870199198121
x32=35.6047167406843x_{32} = 35.6047167406843
x33=58.6430628670095x_{33} = 58.6430628670095
x34=−31.4159995782527x_{34} = -31.4159995782527
x35=12.5663007403281x_{35} = 12.5663007403281
x36=59.6902604182061x_{36} = 59.6902604182061
x37=92.1533845053006x_{37} = 92.1533845053006
x38=14.6607657167524x_{38} = 14.6607657167524
x39=6.28317668366371x_{39} = 6.28317668366371
x40=72.2566310325652x_{40} = 72.2566310325652
x41=2.0943951023932x_{41} = 2.0943951023932
x42=−85.870199198121x_{42} = -85.870199198121
x43=−72.2566310325652x_{43} = -72.2566310325652
x44=46.0766922526503x_{44} = 46.0766922526503
x45=56.5486011335469x_{45} = 56.5486011335469
x46=−6.28311308944196x_{46} = -6.28311308944196
x47=28.2743338823081x_{47} = 28.2743338823081
x48=−37.6991249557468x_{48} = -37.6991249557468
x49=100.530901600679x_{49} = 100.530901600679
x50=10.471975511966x_{50} = 10.471975511966
x51=−46.0766922526503x_{51} = -46.0766922526503
x52=−52.3598775598299x_{52} = -52.3598775598299
x53=18.849561985036x_{53} = 18.849561985036
x54=21.9911485751286x_{54} = 21.9911485751286
x55=−79.5870138909414x_{55} = -79.5870138909414
x56=−15.707963267949x_{56} = -15.707963267949
x57=−43.9823032309153x_{57} = -43.9823032309153
x58=65.9734457253857x_{58} = 65.9734457253857
x59=62.8318395642147x_{59} = 62.8318395642147
x60=4.18879020478639x_{60} = 4.18879020478639
x61=78.5398163397448x_{61} = 78.5398163397448
x62=15.707963267949x_{62} = 15.707963267949
x63=−4.18879020478639x_{63} = -4.18879020478639
x64=−6.28314827212298x_{64} = -6.28314827212298
x65=−81.6814264975776x_{65} = -81.6814264975776
x66=−87.9646059618683x_{66} = -87.9646059618683
x67=75.3982472650144x_{67} = 75.3982472650144
x68=−28.2743338823081x_{68} = -28.2743338823081
x69=90.0589894029074x_{69} = 90.0589894029074
x70=−33.5103216382911x_{70} = -33.5103216382911
x71=43.9823032524319x_{71} = 43.9823032524319
x72=−83.7758040957278x_{72} = -83.7758040957278
x73=−35.6047167406843x_{73} = -35.6047167406843
x74=83.7758040957278x_{74} = 83.7758040957278
x75=−48.1710873550435x_{75} = -48.1710873550435
x76=52.3598775598299x_{76} = 52.3598775598299
x77=−10.471975511966x_{77} = -10.471975511966
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + sin(2*x) - sin(3*x).
(sin⁡(0)+sin⁡(0⋅2))−sin⁡(0⋅3)\left(\sin{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}\right) - \sin{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)+2cos⁡(2x)−3cos⁡(3x)=0\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=i(log⁡(6)−log⁡(−2+10−2i210+11))x_{2} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{10} - \sqrt{2} i \sqrt{2 \sqrt{10} + 11} \right)}\right)
x3=−ilog⁡(−13+106+i36−(2−10)26)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{10}}{6} + \frac{i \sqrt{36 - \left(2 - \sqrt{10}\right)^{2}}}{6} \right)}
x4=−ilog⁡(−106−13−2i11−2106)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10}}{6} - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{11 - 2 \sqrt{10}}}{6} \right)}
x5=−ilog⁡(−106−13+2i11−2106)x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10}}{6} - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{11 - 2 \sqrt{10}}}{6} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

   /     /                         _______________\         \       /    /     /                         _______________\         \\      /  /     /                         _______________\         \\      /    /     /                         _______________\         \\ 
   |     |       ____       ___   /          ____ |         |       |    |     |       ____       ___   /          ____ |         ||      |  |     |       ____       ___   /          ____ |         ||      |    |     |       ____       ___   /          ____ |         || 
(I*\- log\-2 + \/ 10  - I*\/ 2 *\/  11 + 2*\/ 10  / + log(6)/, - sin\3*I*\- log\-2 + \/ 10  - I*\/ 2 *\/  11 + 2*\/ 10  / + log(6)// + sin\I*\- log\-2 + \/ 10  - I*\/ 2 *\/  11 + 2*\/ 10  / + log(6)// + sin\2*I*\- log\-2 + \/ 10  - I*\/ 2 *\/  11 + 2*\/ 10  / + log(6)//)

       /                     ____________________\       /     /                     ____________________\\      /       /                     ____________________\\      /       /                     ____________________\\ 
       |                    /                  2 |       |     |                    /                  2 ||      |       |                    /                  2 ||      |       |                    /                  2 || 
       |        ____       /       /      ____\  |       |     |        ____       /       /      ____\  ||      |       |        ____       /       /      ____\  ||      |       |        ____       /       /      ____\  || 
       |  1   \/ 10    I*\/   36 - \2 - \/ 10 /  |       |     |  1   \/ 10    I*\/   36 - \2 - \/ 10 /  ||      |       |  1   \/ 10    I*\/   36 - \2 - \/ 10 /  ||      |       |  1   \/ 10    I*\/   36 - \2 - \/ 10 /  || 
(-I*log|- - + ------ + --------------------------|, - sin|I*log|- - + ------ + --------------------------|| - sin|2*I*log|- - + ------ + --------------------------|| + sin|3*I*log|- - + ------ + --------------------------||)
       \  3     6                  6             /       \     \  3     6                  6             //      \       \  3     6                  6             //      \       \  3     6                  6             // 

       /                          _______________\       /     /                          _______________\\      /       /                          _______________\\      /       /                          _______________\\ 
       |        ____       ___   /          ____ |       |     |        ____       ___   /          ____ ||      |       |        ____       ___   /          ____ ||      |       |        ____       ___   /          ____ || 
       |  1   \/ 10    I*\/ 2 *\/  11 - 2*\/ 10  |       |     |  1   \/ 10    I*\/ 2 *\/  11 - 2*\/ 10  ||      |       |  1   \/ 10    I*\/ 2 *\/  11 - 2*\/ 10  ||      |       |  1   \/ 10    I*\/ 2 *\/  11 - 2*\/ 10  || 
(-I*log|- - - ------ - --------------------------|, - sin|I*log|- - - ------ - --------------------------|| - sin|2*I*log|- - - ------ - --------------------------|| + sin|3*I*log|- - - ------ - --------------------------||)
       \  3     6                  6             /       \     \  3     6                  6             //      \       \  3     6                  6             //      \       \  3     6                  6             // 

       /                          _______________\       /     /                          _______________\\      /       /                          _______________\\      /       /                          _______________\\ 
       |        ____       ___   /          ____ |       |     |        ____       ___   /          ____ ||      |       |        ____       ___   /          ____ ||      |       |        ____       ___   /          ____ || 
       |  1   \/ 10    I*\/ 2 *\/  11 - 2*\/ 10  |       |     |  1   \/ 10    I*\/ 2 *\/  11 - 2*\/ 10  ||      |       |  1   \/ 10    I*\/ 2 *\/  11 - 2*\/ 10  ||      |       |  1   \/ 10    I*\/ 2 *\/  11 - 2*\/ 10  || 
(-I*log|- - - ------ + --------------------------|, - sin|I*log|- - - ------ + --------------------------|| - sin|2*I*log|- - - ------ + --------------------------|| + sin|3*I*log|- - - ------ + --------------------------||)
       \  3     6                  6             /       \     \  3     6                  6             //      \       \  3     6                  6             //      \       \  3     6                  6             //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−atan⁡(2210+11−2+10)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{10} + 11}}{-2 + \sqrt{10}} \right)}
x2=atan⁡(211−210−10−2)+πx_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - 2 \sqrt{10}}}{- \sqrt{10} - 2} \right)} + \pi
Puntos máximos de la función:
x2=atan⁡(2210+11−2+10)x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{10} + 11}}{-2 + \sqrt{10}} \right)}
x2=−π−atan⁡(211−210−10−2)x_{2} = - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - 2 \sqrt{10}}}{- \sqrt{10} - 2} \right)}
Decrece en los intervalos
[atan⁡(211−210−10−2)+π,∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - 2 \sqrt{10}}}{- \sqrt{10} - 2} \right)} + \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(2210+11−2+10)]∪[atan⁡(2210+11−2+10),atan⁡(211−210−10−2)+π]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{10} + 11}}{-2 + \sqrt{10}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{10} + 11}}{-2 + \sqrt{10}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - 2 \sqrt{10}}}{- \sqrt{10} - 2} \right)} + \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)−4sin⁡(2x)+9sin⁡(3x)=0- \sin{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} + 9 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(18)−log⁡(−94+2−2i294+113))x_{3} = i \left(\log{\left(18 \right)} - \log{\left(- \sqrt{94} + 2 - \sqrt{2} i \sqrt{2 \sqrt{94} + 113} \right)}\right)
x4=−ilog⁡(19+9418−2i113−29418)x_{4} = - i \log{\left(\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{94}}{18} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{113 - 2 \sqrt{94}}}{18} \right)}
x5=−ilog⁡(19+9418+2i113−29418)x_{5} = - i \log{\left(\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{94}}{18} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{113 - 2 \sqrt{94}}}{18} \right)}
x6=−ilog⁡(−9418+19+i324−(2−94)218)x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{94}}{18} + \frac{1}{9} + \frac{i \sqrt{324 - \left(2 - \sqrt{94}\right)^{2}}}{18} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[atan⁡(2294+1132−94)+π,∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{94} + 113}}{2 - \sqrt{94}} \right)} + \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π−atan⁡(2294+1132−94)]\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{94} + 113}}{2 - \sqrt{94}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)+sin⁡(2x))−sin⁡(3x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞((sin⁡(x)+sin⁡(2x))−sin⁡(3x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sin(2*x) - sin(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)+sin⁡(2x))−sin⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡(x)+sin⁡(2x))−sin⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(x)+sin⁡(2x))−sin⁡(3x)=−sin⁡(x)−sin⁡(2x)+sin⁡(3x)\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}
- No
(sin⁡(x)+sin⁡(2x))−sin⁡(3x)=sin⁡(x)+sin⁡(2x)−sin⁡(3x)\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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