Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(x^2-3*x-4)-tan(x)

Gráfico de la función y = ln(x^2-3*x-4)-tan(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 2          \         
f(x) = log\x  - 3*x - 4/ - tan(x)
f(x)=log⁡((x2−3x)−4)−tan⁡(x)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)} 
f = log(x^2 - 3*x - 4) - tan(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((x2−3x)−4)−tan⁡(x)=0\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=79.996498635433x_{1} = 79.996498635433
x2=64.2824264066206x_{2} = 64.2824264066206
x3=−2.06328651543403x_{3} = -2.06328651543403
x4=20.2508935093168x_{4} = 20.2508935093168
x5=57.9961221113285x_{5} = 57.9961221113285
x6=−45.6821542435555x_{6} = -45.6821542435555
x7=86.2816488948125x_{7} = 86.2816488948125
x8=−29.989200501603x_{8} = -29.989200501603
x9=−86.5050192586429x_{9} = -86.5050192586429
x10=−51.9613186241824x_{10} = -51.9613186241824
x11=−23.7158748744789x_{11} = -23.7158748744789
x12=−8.07513760706335x_{12} = -8.07513760706335
x13=42.2774030127984x_{13} = 42.2774030127984
x14=−83.3643299661017x_{14} = -83.3643299661017
x15=35.9879214748469x_{15} = 35.9879214748469
x16=13.9397934788592x_{16} = 13.9397934788592
x17=17.0978842484138x_{17} = 17.0978842484138
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x^2 - 3*x - 4) - tan(x).
−tan⁡(0)+log⁡(−4+(02−0))- \tan{\left(0 \right)} + \log{\left(-4 + \left(0^{2} - 0\right) \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(4)+iπf{\left(0 \right)} = \log{\left(4 \right)} + i \pi
Punto:
(0, pi*i + log(4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−3(x2−3x)−4−tan⁡2(x)−1=0\frac{2 x - 3}{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4} - \tan^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.223988728700549x_{1} = -0.223988728700549
Signos de extremos en los puntos:
(-0.22398872870054912, 1.41500301441533 + pi*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−((2x−3)2(−x2+3x+4)2+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+2−x2+3x+4)=0- (\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 3 x + 4\right)^{2}} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{2}{- x^{2} + 3 x + 4}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=40.8400504705796x_{1} = 40.8400504705796
x2=9.40304411789656x_{2} = 9.40304411789656
x3=−34.5582994814351x_{3} = -34.5582994814351
x4=21.9886573266015x_{4} = 21.9886573266015
x5=37.6983376631316x_{5} = 37.6983376631316
x6=18.8460179494342x_{6} = 18.8460179494342
x7=72.2564305415186x_{7} = 72.2564305415186
x8=6.16919326139223x_{8} = 6.16919326139223
x9=−94.2478889101479x_{9} = -94.2478889101479
x10=65.9732040675295x_{10} = 65.9732040675295
x11=91.1060621182005x_{11} = 91.1060621182005
x12=−91.1063038148158x_{12} = -91.1063038148158
x13=2.80885064262111x_{13} = 2.80885064262111
x14=100.5308627529x_{14} = 100.5308627529
x15=62.8315858960885x_{15} = 62.8315858960885
x16=−43.9827849528315x_{16} = -43.9827849528315
x17=87.9644602050527x_{17} = 87.9644602050527
x18=−78.5399728913063x_{18} = -78.5399728913063
x19=−47.1243161266178x_{19} = -47.1243161266178
x20=−72.2568154885765x_{20} = -72.2568154885765
x21=−100.531061146421x_{21} = -100.531061146421
x22=−84.8231361829204x_{22} = -84.8231361829204
x23=−53.4074088753926x_{23} = -53.4074088753926
x24=−56.548966184855x_{24} = -56.548966184855
x25=53.4067013650382x_{25} = 53.4067013650382
x26=34.5565882047297x_{26} = 34.5565882047297
x27=12.5568224319185x_{27} = 12.5568224319185
x28=75.3980399369066x_{28} = 75.3980399369066
x29=−9.43457516837939x_{29} = -9.43457516837939
x30=69.1148187458923x_{30} = 69.1148187458923
x31=56.5483357175408x_{31} = 56.5483357175408
x32=59.6899634503932x_{32} = 59.6899634503932
x33=−40.8412681562089x_{33} = -40.8412681562089
x34=−75.3983933318131x_{34} = -75.3983933318131
x35=−18.8520822443105x_{35} = -18.8520822443105
x36=−87.9647195321032x_{36} = -87.9647195321032
x37=94.2476631037079x_{37} = 94.2476631037079
x38=−28.275485947938x_{38} = -28.275485947938
x39=50.2650586113542x_{39} = 50.2650586113542
x40=−6.30564013145072x_{40} = -6.30564013145072
x41=43.9817372508236x_{41} = 43.9817372508236
x42=−81.6815539115527x_{42} = -81.6815539115527
x43=−3.24837794556179x_{43} = -3.24837794556179
x44=28.2729017433791x_{44} = 28.2729017433791
x45=−12.5719248924852x_{45} = -12.5719248924852
x46=−37.6997706158168x_{46} = -37.6997706158168
x47=−50.2658582542074x_{47} = -50.2658582542074
x48=25.1308891988813x_{48} = 25.1308891988813
x49=−62.8320957957467x_{49} = -62.8320957957467
x50=97.389263281549x_{50} = 97.389263281549
x51=−65.973666282149x_{51} = -65.973666282149
x52=47.1234050307104x_{52} = 47.1234050307104
x53=−69.1152396755817x_{53} = -69.1152396755817
x54=−59.6905288333045x_{54} = -59.6905288333045
x55=−97.3894747161607x_{55} = -97.3894747161607
x56=15.7025202076958x_{56} = 15.7025202076958
x57=−15.7115602718254x_{57} = -15.7115602718254
x58=−31.4168655782717x_{58} = -31.4168655782717
x59=−25.1341887203559x_{59} = -25.1341887203559
x60=78.5396473175792x_{60} = 78.5396473175792
x61=84.8228572211362x_{61} = 84.8228572211362
x62=−21.9930231490109x_{62} = -21.9930231490109
x63=81.6812529945857x_{63} = 81.6812529945857
x64=31.4147853993251x_{64} = 31.4147853993251

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−100.531061146421]\left(-\infty, -100.531061146421\right]
Convexa en los intervalos
[100.5308627529,∞)\left[100.5308627529, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(log⁡((x2−3x)−4)−tan⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(log⁡((x2−3x)−4)−tan⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^2 - 3*x - 4) - tan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(log⁡((x2−3x)−4)−tan⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(log⁡((x2−3x)−4)−tan⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((x2−3x)−4)−tan⁡(x)=log⁡(x2+3x−4)+tan⁡(x)\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 3 x - 4 \right)} + \tan{\left(x \right)}
- No
log⁡((x2−3x)−4)−tan⁡(x)=−log⁡(x2+3x−4)−tan⁡(x)\log{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)} = - \log{\left(x^{2} + 3 x - 4 \right)} - \tan{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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