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Trazado el gráfico de la función/ ln(x^3-3x^2+4)

Gráfico de la función y = ln(x^3-3x^2+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 3      2    \
f(x) = log\x  - 3*x  + 4/
f(x)=log⁡((x3−3x2)+4)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4 \right)} 
f = log(x^3 - 3*x^2 + 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((x3−3x2)+4)=0\log{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1−2231+3i32−231+3i3x_{1} = 1 - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{1 + \sqrt{3} i}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{3} i}}
Solución numérica
x1=1.34729635533386x_{1} = 1.34729635533386
x2=2.53208888623796x_{2} = 2.53208888623796
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x^3 - 3*x^2 + 4).
log⁡((03−3⋅02)+4)\log{\left(\left(0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right) + 4 \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(4)f{\left(0 \right)} = \log{\left(4 \right)}
Punto:
(0, log(4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−6x(x3−3x2)+4=0\frac{3 x^{2} - 6 x}{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, log(4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(−3x2(x−2)2x3−3x2+4+2x−2)x3−3x2+4=0\frac{3 \left(- \frac{3 x^{2} \left(x - 2\right)^{2}}{x^{3} - 3 x^{2} + 4} + 2 x - 2\right)}{x^{3} - 3 x^{2} + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((x3−3x2)+4)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((x3−3x2)+4)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^3 - 3*x^2 + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((x3−3x2)+4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((x3−3x2)+4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((x3−3x2)+4)=log⁡(−x3−3x2+4)\log{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4 \right)} = \log{\left(- x^{3} - 3 x^{2} + 4 \right)}
- No
log⁡((x3−3x2)+4)=−log⁡(−x3−3x2+4)\log{\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 4 \right)} = - \log{\left(- x^{3} - 3 x^{2} + 4 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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