Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(cos(x))

Gráfico de la función y = cos(cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(cos(x))
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$ 
f = cos(cos(x))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(cos(x)).
$$\cos{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \cos{\left(1 \right)}$$
Punto:
(0, cos(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, cos(1))

 -pi     
(----, 1)
  2      

 pi    
(--, 1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle \cos{\left(1 \right)}, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle \cos{\left(1 \right)}, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle \cos{\left(1 \right)}, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle \cos{\left(1 \right)}, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = - \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
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