Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x+arcctg(5*x))/2

Gráfico de la función y = (x+arcctg(5*x))/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + acot(5*x)
f(x) = -------------
             2
f(x)=x+acot⁡(5x)2f{\left(x \right)} = \frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2} 
f = (x + acot(5*x))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+acot⁡(5x)2=0\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + acot(5*x))/2.
acot⁡(0⋅5)2\frac{\operatorname{acot}{\left(0 \cdot 5 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=π4f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{4}
Punto:
(0, pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12−52(25x2+1)=0\frac{1}{2} - \frac{5}{2 \left(25 x^{2} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−25x_{1} = - \frac{2}{5}
x2=25x_{2} = \frac{2}{5}
Signos de extremos en los puntos:
         1   acot(2) 
(-2/5, - - - -------)
         5      2    

      1   acot(2) 
(2/5, - + -------)
      5      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=25x_{1} = \frac{2}{5}
Puntos máximos de la función:
x1=−25x_{1} = - \frac{2}{5}
Decrece en los intervalos
(−∞,−25]∪[25,∞)\left(-\infty, - \frac{2}{5}\right] \cup \left[\frac{2}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−25,25]\left[- \frac{2}{5}, \frac{2}{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
125x(25x2+1)2=0\frac{125 x}{\left(25 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+acot⁡(5x)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x+acot⁡(5x)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + acot(5*x))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+acot⁡(5x)2x)=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x2y = \frac{x}{2}
lim⁡x→∞(x+acot⁡(5x)2x)=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x2y = \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+acot⁡(5x)2=−x2−acot⁡(5x)2\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2}
- No
x+acot⁡(5x)2=x2+acot⁡(5x)2\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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