Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ arcctg(1/3^(1/x))

Gráfico de la función y = arcctg(1/3^(1/x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / -1 \
           | ---|
           |  x |
f(x) = acot\3   /
f(x)=acot⁡((13)1x)f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} \right)} 
f = acot((1/3)^(1/x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acot⁡((13)1x)=0\operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot((1/3)^(1/x)).
acot⁡((13)10)\operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{0}} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3−1xlog⁡(3)x2(1+3−2x)=0- \frac{3^{- \frac{1}{x}} \log{\left(3 \right)}}{x^{2} \left(1 + 3^{- \frac{2}{x}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3−1x(2−log⁡(3)x+2⋅3−2xlog⁡(3)x(1+3−2x))log⁡(3)x3(1+3−2x)=0\frac{3^{- \frac{1}{x}} \left(2 - \frac{\log{\left(3 \right)}}{x} + \frac{2 \cdot 3^{- \frac{2}{x}} \log{\left(3 \right)}}{x \left(1 + 3^{- \frac{2}{x}}\right)}\right) \log{\left(3 \right)}}{x^{3} \left(1 + 3^{- \frac{2}{x}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=34819.8081785901x_{1} = 34819.8081785901
x2=22954.5991628323x_{2} = 22954.5991628323
x3=−11807.9776906894x_{3} = -11807.9776906894
x4=−28755.8554439682x_{4} = -28755.8554439682
x5=−22823.3871263533x_{5} = -22823.3871263533
x6=−33841.0407995216x_{6} = -33841.0407995216
x7=18717.4088696632x_{7} = 18717.4088696632
x8=−37231.2311666819x_{8} = -37231.2311666819
x9=−23670.8592269299x_{9} = -23670.8592269299
x10=11939.1325426769x_{10} = 11939.1325426769
x11=−38926.3411525708x_{11} = -38926.3411525708
x12=33972.2642781292x_{12} = 33972.2642781292
x13=−14349.5252333311x_{13} = -14349.5252333311
x14=−42316.5847985427x_{14} = -42316.5847985427
x15=−16891.453909869x_{15} = -16891.453909869
x16=23802.0727380424x_{16} = 23802.0727380424
x17=−25365.8299264035x_{17} = -25365.8299264035
x18=−40621.4593592146x_{18} = -40621.4593592146
x19=20412.243568587x_{19} = 20412.243568587
x20=40752.6857637586x_{20} = 40752.6857637586
x21=−35536.130578185x_{21} = -35536.130578185
x22=28039.5591319073x_{22} = 28039.5591319073
x23=39905.1254125674x_{23} = 39905.1254125674
x24=16175.3038024835x_{24} = 16175.3038024835
x25=−26213.3268112127x_{25} = -26213.3268112127
x26=−34688.5842385596x_{26} = -34688.5842385596
x27=25497.0459566592x_{27} = 25497.0459566592
x28=14480.705259557x_{28} = 14480.705259557
x29=−10113.9665821596x_{29} = -10113.9665821596
x30=−21975.925221734x_{30} = -21975.925221734
x31=39057.566966305x_{31} = 39057.566966305
x32=19564.81811926x_{32} = 19564.81811926
x33=30582.1221267427x_{33} = 30582.1221267427
x34=−18586.2074744477x_{34} = -18586.2074744477
x35=28887.0752445151x_{35} = 28887.0752445151
x36=38210.0105517576x_{36} = 38210.0105517576
x37=−12655.1036598253x_{37} = -12655.1036598253
x38=−24518.3404657199x_{38} = -24518.3404657199
x39=13633.4629150492x_{39} = 13633.4629150492
x40=−41469.0212302357x_{40} = -41469.0212302357
x41=21259.6832792179x_{41} = 21259.6832792179
x42=22107.135610143x_{42} = 22107.135610143
x43=−19433.6140304361x_{43} = -19433.6140304361
x44=29734.5963820925x_{44} = 29734.5963820925
x45=36514.9043838209x_{45} = 36514.9043838209
x46=12786.2685957568x_{46} = 12786.2685957568
x47=−27908.3401468452x_{47} = -27908.3401468452
x48=35667.354947071x_{48} = 35667.354947071
x49=17870.0181262223x_{49} = 17870.0181262223
x50=15327.9876556634x_{50} = 15327.9876556634
x51=−39773.8992940013x_{51} = -39773.8992940013
x52=−10960.9257813568x_{52} = -10960.9257813568
x53=−21128.4747406208x_{53} = -21128.4747406208
x54=−16044.1131970961x_{54} = -16044.1131970961
x55=−36383.6796156524x_{55} = -36383.6796156524
x56=−30450.9008943858x_{56} = -30450.9008943858
x57=−20281.0371158687x_{57} = -20281.0371158687
x58=26344.5439221729x_{58} = 26344.5439221729
x59=42447.8117244233x_{59} = 42447.8117244233
x60=−29603.3758349639x_{60} = -29603.3758349639
x61=10245.0931744866x_{61} = 10245.0931744866
x62=33124.7234658882x_{62} = 33124.7234658882
x63=17022.6486550494x_{63} = 17022.6486550494
x64=31429.6521056588x_{64} = 31429.6521056588
x65=−32145.9635411251x_{65} = -32145.9635411251
x66=27192.0485142857x_{66} = 27192.0485142857
x67=−31298.4302428837x_{67} = -31298.4302428837
x68=37362.4563072178x_{68} = 37362.4563072178
x69=24649.555301539x_{69} = 24649.555301539
x70=−15196.8018993266x_{70} = -15196.8018993266
x71=−13502.2897271577x_{71} = -13502.2897271577
x72=41600.247903427x_{72} = 41600.247903427
x73=−32993.5004846539x_{73} = -32993.5004846539
x74=32277.1859852016x_{74} = 32277.1859852016
x75=−17738.8198186293x_{75} = -17738.8198186293
x76=11092.0681319788x_{76} = 11092.0681319788
x77=−38078.7850634037x_{77} = -38078.7850634037
x78=−27060.8304223587x_{78} = -27060.8304223587
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(3−1x(2−log⁡(3)x+2⋅3−2xlog⁡(3)x(1+3−2x))log⁡(3)x3(1+3−2x))=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3^{- \frac{1}{x}} \left(2 - \frac{\log{\left(3 \right)}}{x} + \frac{2 \cdot 3^{- \frac{2}{x}} \log{\left(3 \right)}}{x \left(1 + 3^{- \frac{2}{x}}\right)}\right) \log{\left(3 \right)}}{x^{3} \left(1 + 3^{- \frac{2}{x}}\right)}\right) = 0
lim⁡x→0+(3−1x(2−log⁡(3)x+2⋅3−2xlog⁡(3)x(1+3−2x))log⁡(3)x3(1+3−2x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- \frac{1}{x}} \left(2 - \frac{\log{\left(3 \right)}}{x} + \frac{2 \cdot 3^{- \frac{2}{x}} \log{\left(3 \right)}}{x \left(1 + 3^{- \frac{2}{x}}\right)}\right) \log{\left(3 \right)}}{x^{3} \left(1 + 3^{- \frac{2}{x}}\right)}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acot⁡((13)1x)=π4\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} \right)} = \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π4y = \frac{\pi}{4}
lim⁡x→∞acot⁡((13)1x)=π4\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} \right)} = \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π4y = \frac{\pi}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot((1/3)^(1/x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡((13)1x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acot⁡((13)1x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acot⁡((13)1x)=acot⁡((13)−1x)\operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{- \frac{1}{x}} \right)}
- No
acot⁡((13)1x)=−acot⁡((13)−1x)\operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{- \frac{1}{x}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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