Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcctg(x^2)

Gráfico de la función y = arcctg(x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2\
f(x) = acot\x /
f(x)=acot⁡(x2)f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)} 
f = acot(x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acot⁡(x2)=0\operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(x^2).
acot⁡(02)\operatorname{acot}{\left(0^{2} \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xx4+1=0- \frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
    pi 
(0, --)
    2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x4x4+1−1)x4+1=0\frac{2 \left(\frac{4 x^{4}}{x^{4} + 1} - 1\right)}{x^{4} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3343x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}
x2=3343x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−3343]∪[3343,∞)\left(-\infty, - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\right] \cup \left[\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−3343,3343]\left[- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}, \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acot⁡(x2)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞acot⁡(x2)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡(x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acot⁡(x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acot⁡(x2)=acot⁡(x2)\operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)} = \operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)}
- Sí
acot⁡(x2)=−acot⁡(x2)\operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(x^{2} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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