Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(2*x-3)^(4)

Gráfico de la función y = log(2*x-3)^(4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4         
f(x) = log (2*x - 3)
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(2 x - 3 \right)}^{4}$$ 
f = log(2*x - 3)^4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(2 x - 3 \right)}^{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.0004026735572$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(2*x - 3)^4.
$$\log{\left(-3 + 0 \cdot 2 \right)}^{4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \left(\log{\left(3 \right)} + i \pi\right)^{4}$$
Punto:
(0, (pi*i + log(3))^4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 \log{\left(2 x - 3 \right)}^{3}}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{16 \left(3 - \log{\left(2 x - 3 \right)}\right) \log{\left(2 x - 3 \right)}^{2}}{\left(2 x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} + \frac{e^{3}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} + \frac{e^{3}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 x - 3 \right)}^{4} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 x - 3 \right)}^{4} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(2*x - 3)^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 x - 3 \right)}^{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x - 3 \right)}^{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(2 x - 3 \right)}^{4} = \log{\left(- 2 x - 3 \right)}^{4}$$
- No
$$\log{\left(2 x - 3 \right)}^{4} = - \log{\left(- 2 x - 3 \right)}^{4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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