Sr Examen

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Gráfico de la función y = -3*x^5+50*x^3+135*x+4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            5       3            
f(x) = - 3*x  + 50*x  + 135*x + 4
$$f{\left(x \right)} = \left(135 x + \left(- 3 x^{5} + 50 x^{3}\right)\right) + 4$$
f = 135*x - 3*x^5 + 50*x^3 + 4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(135 x + \left(- 3 x^{5} + 50 x^{3}\right)\right) + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{5} - 50 x^{3} - 135 x - 4, 0\right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{5} - 50 x^{3} - 135 x - 4, 1\right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{5} - 50 x^{3} - 135 x - 4, 2\right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4.36411210000613$$
$$x_{2} = -4.36083759108676$$
$$x_{3} = -0.0296200053380715$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -3*x^5 + 50*x^3 + 135*x + 4.
$$\left(\left(- 3 \cdot 0^{5} + 50 \cdot 0^{3}\right) + 0 \cdot 135\right) + 4$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 15 x^{4} + 150 x^{2} + 135 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{5 + \sqrt{34}}$$
$$x_{2} = \sqrt{5 + \sqrt{34}}$$
Signos de extremos en los puntos:
     ____________             ____________                  3/2                 5/2 
    /       ____             /       ____       /      ____\        /      ____\    
(-\/  5 + \/ 34 , 4 - 135*\/  5 + \/ 34   - 50*\5 + \/ 34 /    + 3*\5 + \/ 34 /   )

    ____________                    5/2                  3/2          ____________ 
   /       ____         /      ____\         /      ____\            /       ____  
(\/  5 + \/ 34 , 4 - 3*\5 + \/ 34 /    + 50*\5 + \/ 34 /    + 135*\/  5 + \/ 34  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{5 + \sqrt{34}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{5 + \sqrt{34}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{5 + \sqrt{34}}, \sqrt{5 + \sqrt{34}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{5 + \sqrt{34}}\right] \cup \left[\sqrt{5 + \sqrt{34}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$60 x \left(5 - x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{5}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(135 x + \left(- 3 x^{5} + 50 x^{3}\right)\right) + 4\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(135 x + \left(- 3 x^{5} + 50 x^{3}\right)\right) + 4\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -3*x^5 + 50*x^3 + 135*x + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(135 x + \left(- 3 x^{5} + 50 x^{3}\right)\right) + 4}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(135 x + \left(- 3 x^{5} + 50 x^{3}\right)\right) + 4}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(135 x + \left(- 3 x^{5} + 50 x^{3}\right)\right) + 4 = 3 x^{5} - 50 x^{3} - 135 x + 4$$
- No
$$\left(135 x + \left(- 3 x^{5} + 50 x^{3}\right)\right) + 4 = - 3 x^{5} + 50 x^{3} + 135 x - 4$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar