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y/(y-1)
Trazado el gráfico de la función/ y/(y-1)

Gráfico de la función y = y/(y-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         y  
f(y) = -----
       y - 1
f(y)=yy−1f{\left(y \right)} = \frac{y}{y - 1} 
f = y/(y - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
y1=1y_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
yy−1=0\frac{y}{y - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=0y_{1} = 0
Solución numérica
y1=0y_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en y/(y - 1).
0−1\frac{0}{-1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
−y(y−1)2+1y−1=0- \frac{y}{\left(y - 1\right)^{2}} + \frac{1}{y - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
2(yy−1−1)(y−1)2=0\frac{2 \left(\frac{y}{y - 1} - 1\right)}{\left(y - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
y1=1y_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞(yy−1)=1\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{y}{y - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡y→∞(yy−1)=1\lim_{y \to \infty}\left(\frac{y}{y - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función y/(y - 1), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞1y−1=0\lim_{y \to -\infty} \frac{1}{y - 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡y→∞1y−1=0\lim_{y \to \infty} \frac{1}{y - 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
yy−1=−y−y−1\frac{y}{y - 1} = - \frac{y}{- y - 1}
- No
yy−1=y−y−1\frac{y}{y - 1} = \frac{y}{- y - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y/(y-1)
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