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Trazado el gráfico de la función/ -1/3x^3+3,5x^2-10x-1/3

Gráfico de la función y = -1/3x^3+3,5x^2-10x-1/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2           
         x    7*x           1
f(x) = - -- + ---- - 10*x - -
         3     2            3
f(x)=(−10x+(−x33+7x22))−13f{\left(x \right)} = \left(- 10 x + \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3} 
f = -10*x - x^3/3 + 7*x^2/2 - 1/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−10x+(−x33+7x22))−13=0\left(- 10 x + \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−72924+2187833−27472924+218783+72x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{729 \sqrt{2}}{4} + \frac{2187}{8}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{729 \sqrt{2}}{4} + \frac{2187}{8}}} + \frac{7}{2}
Solución numérica
x1=−0.0329520964121799x_{1} = -0.0329520964121799
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3/3 + 7*x^2/2 - 10*x - 1/3.
−13+((−033+7⋅022)−0)- \frac{1}{3} + \left(\left(- \frac{0^{3}}{3} + \frac{7 \cdot 0^{2}}{2}\right) - 0\right)
Resultado:
f(0)=−13f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{3}
Punto:
(0, -1/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2+7x−10=0- x^{2} + 7 x - 10 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=5x_{2} = 5
Signos de extremos en los puntos:
(2, -9)

(5, -9/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Puntos máximos de la función:
x1=5x_{1} = 5
Decrece en los intervalos
[2,5]\left[2, 5\right]
Crece en los intervalos
(−∞,2]∪[5,∞)\left(-\infty, 2\right] \cup \left[5, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
7−2x=07 - 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=72x_{1} = \frac{7}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,72]\left(-\infty, \frac{7}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[72,∞)\left[\frac{7}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−10x+(−x33+7x22))−13)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 10 x + \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−10x+(−x33+7x22))−13)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 10 x + \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3/3 + 7*x^2/2 - 10*x - 1/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−10x+(−x33+7x22))−13x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 10 x + \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−10x+(−x33+7x22))−13x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 10 x + \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−10x+(−x33+7x22))−13=x33+7x22+10x−13\left(- 10 x + \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 10 x - \frac{1}{3}
- No
(−10x+(−x33+7x22))−13=−x33−7x22−10x+13\left(- 10 x + \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3} = - \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 10 x + \frac{1}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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