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Trazado el gráfico de la función/ y=2x^3+3x^2-12x+7

Gráfico de la función y = y=2x^3+3x^2-12x+7

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2           
f(x) = 2*x  + 3*x  - 12*x + 7
f(x)=(−12x+(2x3+3x2))+7f{\left(x \right)} = \left(- 12 x + \left(2 x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) + 7 
f = -12*x + 2*x^3 + 3*x^2 + 7
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−12x+(2x3+3x2))+7=0\left(- 12 x + \left(2 x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) + 7 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−72x_{1} = - \frac{7}{2}
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−3.5x_{2} = -3.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 7.
((2⋅03+3⋅02)−0)+7\left(\left(2 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 7
Resultado:
f(0)=7f{\left(0 \right)} = 7
Punto:
(0, 7)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x2+6x−12=06 x^{2} + 6 x - 12 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 27)

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[1,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2,1]\left[-2, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(2x+1)=06 \left(2 x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−12x+(2x3+3x2))+7)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 12 x + \left(2 x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) + 7\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−12x+(2x3+3x2))+7)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 12 x + \left(2 x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) + 7\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 7, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−12x+(2x3+3x2))+7x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 12 x + \left(2 x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) + 7}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−12x+(2x3+3x2))+7x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 12 x + \left(2 x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) + 7}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−12x+(2x3+3x2))+7=−2x3+3x2+12x+7\left(- 12 x + \left(2 x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) + 7 = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x + 7
- No
(−12x+(2x3+3x2))+7=2x3−3x2−12x−7\left(- 12 x + \left(2 x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) + 7 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x - 7
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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