Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^2+2x
-
y=(x^(2)+8)/(x+1)
-
y=(x^2-4)^2-1
-
y=cbrt(x)
-
Expresiones idénticas
- (cos(sqrt(dos)*log(x))+sin(sqrt(dos)*log(x)))/x
- ( coseno de ( raíz cuadrada de (2) multiplicar por logaritmo de (x)) más seno de ( raíz cuadrada de (2) multiplicar por logaritmo de (x))) dividir por x
- ( coseno de ( raíz cuadrada de (dos) multiplicar por logaritmo de (x)) más seno de ( raíz cuadrada de (dos) multiplicar por logaritmo de (x))) dividir por x
- (cos(√(2)*log(x))+sin(√(2)*log(x)))/x
- (cos(sqrt(2)log(x))+sin(sqrt(2)log(x)))/x
- cossqrt2logx+sinsqrt2logx/x
- (cos(sqrt(2)*log(x))+sin(sqrt(2)*log(x))) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (cos(sqrt(2)*log(x))-sin(sqrt(2)*log(x)))/x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1)-4*x^2*asin(2*x)
- sqrt(2/10)*sin(1*pi*x/10)
- sqrt((7x-12-x^2)/(x^2-7x+6))
- sqrt(2704-x^2)
- sqrt[2x-x^2]
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1)-4*x^2*asin(2*x)
- sqrt(2/10)*sin(1*pi*x/10)
- sqrt((7x-12-x^2)/(x^2-7x+6))
- sqrt(2704-x^2)
- sqrt[2x-x^2]
Gráfico de la función y = (cos(sqrt(2)*log(x))+sin(sqrt(2)*log(x)))/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ \ / ___ \
cos\\/ 2 *log(x)/ + sin\\/ 2 *log(x)/
f(x) = -------------------------------------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
f = (sin(sqrt(2)*log(x)) + cos(sqrt(2)*log(x)))/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = e^{- \frac{\sqrt{2} \pi}{8}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4148.09930305395$$
$$x_{2} = 449.872423829032$$
$$x_{3} = 48.7898632447875$$
$$x_{4} = 5.2913906906859$$
$$x_{5} = 48.7898632447893$$
$$x_{6} = 48.7898632447893$$
$$x_{7} = 38248.0163632698$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = e^{- \frac{\sqrt{2} \pi}{8}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4148.09930305395$$
$$x_{2} = 449.872423829032$$
$$x_{3} = 48.7898632447875$$
$$x_{4} = 5.2913906906859$$
$$x_{5} = 48.7898632447893$$
$$x_{6} = 48.7898632447893$$
$$x_{7} = 38248.0163632698$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{x} - \frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}}$$
$$x_{2} = e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{3} \right)}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{3} \right)}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{3} \right)}}, e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{3} \right)}}\right] \cup \left[e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{x} - \frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}}$$
$$x_{2} = e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{3} \right)}}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ / ___ ___ ___\ ___ / ___ ___ ___\ -\/ 2 *atan\3 - \/ 6 - 2*\/ 3 + 2*\/ 2 / / / / ___ ___ ___\\ / / ___ ___ ___\\\ \/ 2 *atan\3 - \/ 6 - 2*\/ 3 + 2*\/ 2 / (e , \- sin\2*atan\3 - \/ 6 - 2*\/ 3 + 2*\/ 2 // + cos\2*atan\3 - \/ 6 - 2*\/ 3 + 2*\/ 2 ///*e )
___ / ___ ___ ___\ ___ / ___ ___ ___\ -\/ 2 *atan\3 + \/ 6 + 2*\/ 2 + 2*\/ 3 / / / / ___ ___ ___\\ / / ___ ___ ___\\\ \/ 2 *atan\3 + \/ 6 + 2*\/ 2 + 2*\/ 3 / (e , \- sin\2*atan\3 + \/ 6 + 2*\/ 2 + 2*\/ 3 // + cos\2*atan\3 + \/ 6 + 2*\/ 2 + 2*\/ 3 ///*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{3} \right)}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{3} \right)}}, e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{3} \right)}}\right] \cup \left[e^{- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sqrt{2} \left(\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \frac{3 \sqrt{2} \pi}{8}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\sqrt{2} \pi}{8}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \sqrt{2} \left(\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) = - \infty \left(2 \sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{2} \left\langle -4, 4\right\rangle\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt{2} \left(\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty \left(2 \sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{2} \left\langle -4, 4\right\rangle\right)$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \frac{3 \sqrt{2} \pi}{8}}\right] \cup \left[e^{\frac{\sqrt{2} \pi}{8}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{- \frac{3 \sqrt{2} \pi}{8}}, e^{\frac{\sqrt{2} \pi}{8}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sqrt{2} \left(\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \frac{3 \sqrt{2} \pi}{8}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\sqrt{2} \pi}{8}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \sqrt{2} \left(\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) = - \infty \left(2 \sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{2} \left\langle -4, 4\right\rangle\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt{2} \left(\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty \left(2 \sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{2} \left\langle -4, 4\right\rangle\right)$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \frac{3 \sqrt{2} \pi}{8}}\right] \cup \left[e^{\frac{\sqrt{2} \pi}{8}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{- \frac{3 \sqrt{2} \pi}{8}}, e^{\frac{\sqrt{2} \pi}{8}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(sqrt(2)*log(x)) + sin(sqrt(2)*log(x)))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x} = - \frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(- x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(- x \right)} \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x} = \frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(- x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(- x \right)} \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x} = - \frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(- x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(- x \right)} \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(x \right)} \right)}}{x} = \frac{\sin{\left(\sqrt{2} \log{\left(- x \right)} \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} \log{\left(- x \right)} \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar